Зеркальный цилиндр

Лучи, отражённые от цилиндра и попавшие в глаз, идут от ленты. Геометрия задаёт связь угла падения с углом \(\varphi\); найдите угол \(\varphi\) из треугольников на рисунке отражения.

Пусть \(x\) — расстояние от глаза наблюдателя до оси цилиндра; из рисунка \(\sin\alpha_0 = R/x\), то есть \(x = R/\sin\alpha_0\). Цилиндр отражает свет от светящейся ленты, и его видимая часть — это та, от которой отражённые лучи попадают в глаз. Точки цилиндра, лежащие внутри угла \(\varphi\), отражают лучи мимо ленты, поэтому на уровне ленты они не светятся — отсюда сужение; при выключенной лампе лента не светится и эффект пропадает. Луч, попадающий на цилиндр под наименьшим углом \(\varphi\), идёт от очень удалённой части ленты и определяет границу несветящейся области. Угол падения и угол отражения равны \(\varphi + \alpha\), и из рисунка \(2\varphi + \alpha = 90^\circ\).

Из двух прямоугольных треугольников для их общего катета: \(R\sin\varphi = (x - R\cos\varphi)\operatorname{tg}\alpha\). Отсюда \(R\sin(\varphi + \alpha) = x\sin\alpha\), и с учётом \(\alpha = 90^\circ - 2\varphi\): \(R\cos\varphi = x\cos 2\varphi = x(2\cos^2\varphi - 1)\). Квадратное уравнение \[2x\cos^2\varphi - R\cos\varphi - x = 0\] имеет физический корень \(\cos\varphi = \dfrac{R + \sqrt{R^2 + 8x^2}}{4x}\). Подставив \(x = R/\sin\alpha_0\), получаем \(\cos\varphi = \dfrac{\sin\alpha_0 + \sqrt{\sin^2\alpha_0 + 8}}{4}\) и \(2\alpha = 180^\circ - 4\varphi\).