Космическая станция «Орион»

Перейдите в инерциальную систему: дротик летит по прямой, а станция под ним поворачивается. Сравните угол поворота станции за время полёта с углом дуги, которую пересекает дротик.

Вес космонавта на станции равен центробежной силе: \(m\omega^2 R = mg\), откуда \(\omega = \sqrt{g/R}\). В инерциальной системе дротик летит прямолинейно и равномерно со скоростью \(u = \sqrt{v^2 + \omega^2R^2}\): его скорость складывается из \(v\) (вдоль \(Y\), от стенки к центру) и \(\omega R\) (переносная скорость от вращения станции, вдоль \(X\)). Введём угол \(\varphi\): \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{v}{\omega R}\). Дротик проходит хорду дуги с центральным углом \(2\varphi\), длина хорды \(L_0 = 2R\sin\varphi\), время полёта \(t = L_0/u\). За это время станция поворачивается на угол \(\varphi_0 = \omega t\). Так как дуга, по которой переместился космонавт, длиннее хорды, а дротик быстрее космонавта, \(\varphi_0 < 2\varphi\), и минимальный путь \[L = R(2\varphi - \varphi_0) = 2R\left(\varphi - \frac{R\omega\sin\varphi}{\sqrt{v^2+\omega^2R^2}}\right).\] Подставляя \(\omega\) и \(\varphi\), получаем ответ.