Шайба на клине

Работа силы трения уходит в тепло и на пути вверх, и на пути вниз. По двум характерным точкам излома графика найдите длины отрезков, выраженные через \(\mu\,mgL\cos\alpha\) и \(mgL\sin\alpha\).

Ускорение шайбы при движении вверх \(a_1 = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)\). Путь вверх до остановки \(l = \dfrac{E_0}{mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}\). Пока \(l \le L\) (длина клина), шайба скатывается назад и у земли, пройдя путь \(2l\), имеет \[E_k = E_0 - 2\mu mg\cos\alpha\, l = E_0\,\frac{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}.\] Это прямая через начало координат с наклоном меньше \(45^\circ\). Излом графика — при критической энергии \(E_0^* = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)L\), и здесь \(E_k^* = mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)L\). Для \(E_0 > E_0^*\) шайба улетает с клина, и \(E_k = E_0 - \mu mg\cos\alpha\,L\) — прямая под \(45^\circ\), не проходящая через начало. По графику: отрезок, отвечающий \(mgL\sin\alpha\), равен 10 клеткам, а \(\mu mgL\cos\alpha\) — 4 клеткам. Отсюда \[\frac{\mu\, mgL\cos\alpha}{mgL\sin\alpha} = \frac{\mu}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{4}{10},\] и с учётом \(\operatorname{tg}45^\circ = 1\) получаем \(\mu = 0{,}4\). Это меньше \(\operatorname{tg}\alpha\), то есть шайба действительно не застревает на клине.