Задачи › Количество теплоты, уравнение теплового баланса

Жёсткость пружины при нагревании

  1. Жёсткость пружины при нагревании

    Санкт-Петербургская 2022/23, 9 кл.
    6/10

    Доктор Джекил изучает изменение жёсткости пружины при нагревании. Он подвесил к пружине груз массы \(m\), поместил систему в теплоизолирующий контейнер и подал на пружину постоянное электрическое напряжение \(U\) (см. рис.). Мистер Хайд взял точно такую же пружину, отрезал от неё половину и выкинул, и повторил эксперимент с оставшейся половиной. При этом электрическое напряжение и масса груза были такими же, как у Джекила. Было замечено: через время \(t_*\) после включения электричества растяжение пружин в обоих опытах одинаково и равно \(x_*\). Считая, что жёсткость зависит от температуры по закону \(k = k_0 - \alpha\,\Delta T\) (где \(\Delta T\) — отклонение температуры от начальной), определите параметры \(k_0\) и \(\alpha\) для целой пружины. Теплоёмкость пружины \(C\) и её сопротивление \(R\) известны и не зависят от температуры. Теплоёмкостью груза и массой пружины пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выделение тепла в пружине — по закону Джоуля–Ленца. Для половины пружины \(C\) и \(R\) вдвое меньше, а \(k_0\) и \(\alpha\) вдвое больше. Запишите растяжение обоих опытов в момент \(t_*\).

    Ответ

    \(k_0 = \dfrac{7mg}{6x_*}\),  \(\alpha = \dfrac{mgCR}{6x_*t_*U^2}\).

    Решение

    Мощность джоулева нагрева \(U^2/R\), поэтому \(C\,\Delta T = U^2t/R\), то есть \(\Delta T(t) = \dfrac{U^2 t}{CR}\). Растяжение целой пружины по закону Гука: \[x(t) = \frac{mg}{k(t)} = \frac{mg}{k_0 - \alpha U^2t/(CR)}.\] У половины пружины теплоёмкость и сопротивление равны \(C/2\) и \(R/2\), поэтому нагрев в четыре раза быстрее, \(\Delta T' = 4U^2t/(CR)\). Жёсткость половины пружины — \(2k_0 - 2\alpha\,\Delta T'\), то есть растяжение \[\tilde x(t) = \frac{mg}{2k_0 - 8\alpha U^2t/(CR)}.\] Из условия \(\tilde x(t_*) = x(t_*) = x_*\) получаем систему двух уравнений: \[k_0 - \frac{\alpha U^2 t_*}{CR} = \frac{mg}{x_*}, \qquad 2k_0 - \frac{8\alpha U^2 t_*}{CR} = \frac{mg}{x_*}.\] Её решение и есть ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх