Тень от вращающейся загородки

Фотон, идущий вдоль границы тени, должен пролететь между краями загородки в двух её положениях за время поворота загородки между этими положениями.

\(S = RH\).

Световой луч, падающий на границу полной тени, должен проходить через края \(A\) и \(B\) загородки в двух её положениях (см. рисунок), а фотон, движущийся вдоль этого луча, должен пролететь отрезок \(AB\) за время поворота загородки между этими положениями. Аналогичное условие имеет место для симметричного относительно оси вращения луча, поэтому тень будет симметричной относительно проекции оси вращения на экран.

Пусть \(\varphi\) — угол между рассматриваемыми положениями загородки, тогда равенство времён пролёта фотона и поворота загородки имеет вид: \[\dfrac{2R}{c}\cos\dfrac\varphi2 = \dfrac\varphi\omega,\] откуда после подстановки выражения для \(\omega\) получаем уравнение \[\dfrac\pi3\cdot\cos\dfrac\varphi2 = \varphi\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}.\] Заметим, что значение \(\varphi = \pi/3\) является корнем уравнения. На интервале \(\varphi\in(0;\pi)\) левая часть равенства является строго убывающей функцией, а правая — строго возрастающей, поэтому уравнение не может иметь более одного корня на этом интервале, то есть найденный корень — единственный.

Ширина \(L\) полной тени имеет вид \(L = 2R\sin(\varphi/2) = R\), а её длина совпадает с \(H\), откуда находим искомую площадь: \(S = RH\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.