Конденсаторы и катушка

Замените последовательно соединённые источник и \(C_2\) на эквивалентный конденсатор, а затем сведите схему к обычному \(LC\)-контуру.

1) \(t_1 = \dfrac\pi2\sqrt{L(C_1+C_2)}\);  2) \(I_0 = \dfrac{C_2\mathcal{E}}{\sqrt{L(C_1+C_2)}}\);  3) \(t_2 = \pi\sqrt{L(C_1+C_2)}\);  4) \(U_2 = \mathcal{E}\left(1 + \dfrac{C_2}{C_1+C_2}\right)\).

Примечание. Типичное решение подобных задач включает рассмотрение протёкших зарядов и работы источника, однако есть гораздо более эффективный подход, основанный на упрощении схем с помощью свойств последовательного и параллельного соединений элементов в ситуациях, когда согласно распространённому ошибочному мнению это делать якобы нельзя.

Начальное напряжение \(U_0\) на конденсаторе \(C_1\) сразу после подключения источника и до подключения катушки найдём по свойствам последовательного соединения: \[U_0 = \dfrac{1}{C_1}\cdot\left(\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\cdot\mathcal{E}\right) = \dfrac{C_2\mathcal{E}}{C_1+C_2}.\] Перерисуем схему после подключения катушки в более наглядном виде (см. рисунок).

Заменим последовательно соединённые источник и конденсатор \(C_2\) на эквивалентный конденсатор ёмкостью \(C_3 = C_2\), напряжение на котором отличается на \(\mathcal{E}\) от напряжения на конденсаторе \(C_2\). Далее заменим параллельно соединённые конденсаторы \(C_1\) и \(C_3\) на эквивалентный конденсатор ёмкостью \(C = C_1 + C_2\) с начальным напряжением \(U_0\), что превратит схему в обычный \(LC\)-контур, период \(T\) колебаний в котором находится по формуле Томсона: \(T = 2\pi\sqrt{L(C_1+C_2)}\).

1. Максимальная сила тока через катушку будет наблюдаться впервые через четверть периода после максимума напряжения на эквивалентном конденсаторе \(C\), имевшего место в начальный момент времени: \[t_1 = \dfrac T4 = \dfrac\pi2\sqrt{L(C_1+C_2)}.\] 2. Запишем закон сохранения энергии при колебаниях: \[\dfrac{CU_0^2}{2} = \dfrac{LI_0^2}{2},\] откуда находим максимальную силу тока: \[I_0 = U_0\sqrt{\dfrac CL} = \dfrac{C_2\mathcal{E}}{\sqrt{L(C_1+C_2)}}.\] 3. Напряжение на конденсаторе \(C_2\) будет максимальным (по модулю), когда напряжение на конденсаторе \(C\) будет максимальным и противоположным по знаку напряжению на источнике, то есть впервые это произойдёт через половину периода: \[t_2 = \dfrac T2 = \pi\sqrt{L(C_1+C_2)}.\] 4. Максимальное напряжение на конденсаторе \(C_2\) найдём из условия отличия его на \(\mathcal{E}\) от напряжения на эквивалентном конденсаторе: \[U_2 = U_0 + \mathcal{E} = \mathcal{E}\left(1 + \dfrac{C_2}{C_1+C_2}\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.