LC-контур с двумя батареями

Ток в катушке максимален, когда напряжение на конденсаторе равно эдс второй батареи. Запишите баланс энергии: работа второй батареи за время колебаний идёт на изменение энергии конденсатора и на энергию катушки.

Когда ключ находится в положении 1, напряжение на конденсаторе равно \(\varepsilon_1\) и заряд его верхней обкладки равен \(q_1 = C\varepsilon_1\). После перевода ключа в положение 2 в левом контуре возникают незатухающие электромагнитные колебания (излучением и сопротивлением пренебрегаем). Эдс самоиндукции \(\varepsilon = -L\,\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\) пропорциональна скорости изменения тока. В моменты, когда ток максимален, скорость его изменения обращается в нуль, поэтому эдс самоиндукции также равна нулю. В эти моменты напряжение на конденсаторе равно \(\varepsilon_2\) и заряд его верхней обкладки равен \(q_2 = C\varepsilon_2\).

Рассмотрим баланс энергии в левом контуре: \[A = \Delta W + \frac{LI_m^2}{2},\] где \(A\) — работа батареи \(\varepsilon_2\), \(\Delta W\) — приращение энергии конденсатора. Через батарею в направлении действия её эдс прошёл заряд \((q_2 - q_1)\), поэтому работа батареи равна: \[A = (q_2 - q_1)\varepsilon_2 = C\varepsilon_2(\varepsilon_2 - \varepsilon_1).\] Начальная и конечная энергии конденсатора равны \(W_1 = \dfrac{C\varepsilon_1^2}{2}\) и \(W_2 = \dfrac{C\varepsilon_2^2}{2}\), поэтому \[\Delta W = W_2 - W_1 = \frac{C(\varepsilon_2^2 - \varepsilon_1^2)}{2}.\] Из полученных соотношений находим максимальный ток через катушку: \[\frac{LI_m^2}{2} = A - \Delta W = C\varepsilon_2(\varepsilon_2 - \varepsilon_1) - \frac{C(\varepsilon_2^2 - \varepsilon_1^2)}{2} = \frac{C(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)^2}{2},\] \[I_m = \sqrt{\frac{C}{L}}\,|\varepsilon_2 - \varepsilon_1| = 15\ \text{мА}.\]