Проволочный каркас

Каркас симметричен относительно прямой \(ab\), поэтому диагонали можно мысленно разорвать в центре. Сведите нижнюю половину к треугольнику \(efo\) и последовательным сопротивлениям, затем найдите напряжение на стороне \(ef\).

Так как каркас симметричен относительно горизонтальной прямой \(ab\), то токи в ветвях не изменятся, если разъединить диагонали в точке их пересечения. В эквивалентной схеме рассмотрим нижнюю часть, состоящую из отрезков \(ae\) и \(fb\) и треугольника \(efo\). Сопротивление треугольника обозначим через \(R_1\), а сопротивление всей нижней части через \(R_2\). Треугольник состоит из двух последовательно соединённых отрезков \(eo\) и \(of\), параллельно которым подключён отрезок \(ef\). Для сопротивления треугольника имеем: \[\frac{1}{R_1} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{2R} \quad\Longrightarrow\quad R_1 = \frac{2R}{3}.\]

Сопротивление нижней части равно \(R_2 = 2R + R_1 = \dfrac{8R}{3}\). Сопротивление верхней части каркаса, лежащей над прямой \(ab\), также равно \(R_2\). Учитывая также сопротивление \(2R\) диагонали \(ab\), для общего сопротивления каркаса получаем: \[\frac{1}{R_0} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{2R} = \frac{5}{4R} \quad\Longrightarrow\quad R_0 = \frac{4R}{5}.\] Пусть на клеммы \(a\) и \(b\) подано напряжение \(V\). Тогда тепловая мощность, выделяющаяся на всём каркасе, равна: \[P = \frac{V^2}{R_0} = \frac{5V^2}{4R}.\] Найдём напряжение \(V_1\) на отрезке \(ef\): \[\frac{V_1}{V} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad V_1 = \frac{V}{4}.\] Для тепловой мощности, выделяющейся на этом отрезке, получаем \(P_{ef} = \dfrac{V_1^2}{R} = \dfrac{V^2}{16R}\). Отношение мощностей равно: \[x = \frac{P}{P_{ef}} = \frac{5\cdot 16}{4} = 20.\]