Полусфера на столе с трением

Пока полусфера неподвижна, найдите силу давления бруска на полусферу как функцию угла, затем горизонтальную составляющую, которую уравновешивает трение покоя стола. Скольжение полусферы начнётся, когда эта сила достигнет предельного значения \(\mu N_2\).

При \(0 \le \alpha \le 25^\circ\) сфера неподвижна. Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на направление центростремительного ускорения: \[\frac{mV^2}{R} = mg\cos\alpha - N_1,\] где \(m\) — масса бруска, \(V\) — его скорость, \(R\) — радиус полусферы, \(N_1\) — сила нормальной реакции, действующая на брусок со стороны полусферы. Скорость бруска найдём из закона сохранения энергии: \[mgR = \frac{mV^2}{2} + mgR\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad V^2 = 2gR(1 - \cos\alpha).\] Для силы \(N_1\) получаем: \[N_1 = mg\cos\alpha - \frac{mV^2}{R} = mg(3\cos\alpha - 2).\] По третьему закону Ньютона сила \(N_1\) равна силе давления бруска на полусферу. Горизонтальная составляющая силы давления компенсируется силой трения покоя \(F\), действующей на полусферу со стороны стола: \(F = N_1\sin\alpha\). Вертикальная составляющая силы давления и сила тяжести \(Mg\) (\(M\) — масса полусферы) определяют силу нормальной реакции \(N_2 = Mg + N_1\cos\alpha\), действующую на полусферу со стороны стола.

При \(\alpha = 25^\circ\) сила трения покоя \(F\) достигает максимального значения, равного силе трения скольжения \(\mu N_2\): \(F = \mu N_2\). Отсюда, вводя отношение масс \(k = M/m\), \[\mu = \frac{F}{N_2} = \frac{N_1\sin\alpha}{Mg + N_1\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha\,(3\cos\alpha - 2)}{k + \cos\alpha\,(3\cos\alpha - 2)} = 0{,}015.\]