Маятник из двух частей

Нить перестаёт тянуть, когда составляющая силы тяжести вдоль нити равна центростремительной силе; скорость в этот момент даёт также закон сохранения энергии.

\(\alpha=\arccos\dfrac23\).

Натяжение в нити исчезает, когда составляющая силы тяжести вдоль нити становится равной центробежной силе. Обозначим угол между нитью и горизонтальной линией через \(\theta\). Центробежная сила выражается как \(F_\text{ц}=mv^2/r=2mv^2/l\), а составляющая силы тяжести вдоль нити \(F_{rn}=mg\sin\theta\). Они должны быть равны, поэтому \[\frac{2mv^2}{l}=mg\sin\theta\ \Rightarrow\ v^2=\frac{gl\sin\theta}{2}.\] Приняв за нуль потенциальной энергии положение 2, получаем, что энергия шарика в положении 1 равна \(E_1=mgl\). В положении 3 энергия шарика \(E_3=mv^2/2+mg(1+\sin\theta)\,l/2\). Так как выполняется закон сохранения энергии, должно быть \(E_1=E_3\): \[mgl=\frac{mv^2}{2}+mg(1+\sin\theta)\frac l2\ \Rightarrow\ v^2=gl(1-\sin\theta).\] Приравнивая два выражения для \(v^2\), получаем \[\frac{gl\sin\theta}{2}=gl(1-\sin\theta)\ \Rightarrow\ \frac32\sin\theta=\frac32\cos\alpha=1\ \Rightarrow\ \alpha=\arccos\frac23.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.