Отверстие в бочке

Скорость струи у отверстия находится из закона Бернулли, а дальше струя разгоняется свободным падением; связь скоростей в двух сечениях даёт уравнение неразрывности через диаметры.

\(h=\dfrac{l}{d_1^4/d_2^4-1}\approx 50\) см.

Воду на поверхности можно рассматривать как текущую на высоте \(h\) воду, скорость которой равна нулю и давление которой должно быть равно атмосферному. Струя, выходящая из дна бочки, у отверстия находится на \(h\) ниже; давление там так же должно быть равно атмосферному, но струя движется со скоростью \(v\). Из закона Бернулли получаем \(\rho gh=\rho v^2/2\), откуда \(v^2=2gh\). Можно и иначе записать закон сохранения энергии для небольшого количества воды \(\Delta m\), находящегося на расстоянии \(h\) от дна сосуда: \(gh\,\Delta m=\Delta m\,\dfrac{v^2}{2}\), где учтено, что скорость течения воды на верхней границе практически равна 0 и что потери энергии не учитываются.

В вытекающей струе расход в единицу времени должен быть одинаковым, то есть \(A_1v_1=A_2v_2\), где \(A\) и \(v\) — соответственно площадь поперечного сечения и скорость струи. Так как \(A=\pi d^2/4\), соотношение переписывается в виде \(v_2=(d_1^2/d_2^2)\,v_1\). Путь, пройденный телом, движущимся с ускорением свободного падения, выражается через начальную и конечную скорости как \[l=\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}\ \Rightarrow\ l=\frac{\dfrac{d_1^4}{d_2^4}v_1^2-v_1^2}{2g}\ \Rightarrow\ v_1^2=\frac{2gl}{\dfrac{d_1^4}{d_2^4}-1}.\] Рассмотрим случай, когда \(v_1=v\) — скорость сразу у отверстия. Тогда два выражения для \(v^2\) можно приравнять: \[2gh=\frac{2gl}{\dfrac{d_1^4}{d_2^4}-1}\ \Rightarrow\ h=\frac{l}{\dfrac{d_1^4}{d_2^4}-1}.\] Диаметр струи у отверстия находим по графику в точке \(l=0\), вторую точку выбираем сами произвольно. Выбрав для неё \((28;\,1{,}79)\), получаем в ответе \(h=28/(2^4/1{,}79^4-1)=50\) см.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.