Зеркальное дно

Раз пучок после заливки воды сходится в той же точке, он обязан сначала отразиться от зеркального дна: найдите, каким должно быть фокусное расстояние линзы в воде, и свяжите его с фокусным расстоянием в воздухе через оптические силы.

\(f=\dfrac{2l\,n_0(n_\text{с}-n_\text{в})}{n_\text{с}n_\text{в}+n_\text{с}n_0-2n_0n_\text{в}}\approx 4\) см.

Заметим, что по формуле, если показатель преломления среды растёт, а показатель преломления линзы остаётся прежним, то оптическая сила линзы уменьшается, а фокусное расстояние увеличивается. Поэтому единственный способ, которым лучи света могли бы после наполнения сосуда водой собираться в той же точке, — это если внутри воды лучи света отразятся от зеркала на дне и затем соберутся в той же точке, что и раньше.

Расстояние от линзы до дна сосуда \(l=10\) см. Пусть оптическая сила линзы в воздухе \(D\), а фокусное расстояние в воздухе \(f=1/D\). Её оптическая сила в воде пусть будет \(D_\text{в}\). Чтобы лучи после отражения собрались в той же точке, фокусное расстояние линзы в воде должно быть равно \(2l-f=\dfrac1{D_\text{в}}\). По формуле получаем \[\frac{D_\text{в}}{D}=\frac{f}{2l-f}=\frac{\dfrac{n_\text{с}-n_\text{в}}{n_\text{в}}\left(\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}\right)}{\dfrac{n_\text{с}-n_0}{n_0}\left(\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}\right)}=\frac{n_\text{с}n_0-n_0n_\text{в}}{n_\text{с}n_\text{в}-n_0n_\text{в}},\] \[f(n_\text{с}n_\text{в}-n_0n_\text{в})=(2l-f)(n_\text{с}n_0-n_0n_\text{в}),\] \[n_\text{с}n_\text{в}f-n_0n_\text{в}f=2ln_\text{с}n_0-2ln_0n_\text{в}-n_\text{с}n_0f+n_0n_\text{в}f,\] \[f\,(n_\text{с}n_\text{в}+n_\text{с}n_0-2n_0n_\text{в})=2ln_0(n_\text{с}-n_\text{в}), \qquad f=\frac{2ln_0(n_\text{с}-n_\text{в})}{n_\text{с}n_\text{в}+n_\text{с}n_0-2n_0n_\text{в}}.\] Следовательно, фокусное расстояние линзы \[f=\frac{2\cdot 10\text{ см}\cdot 1{,}0\cdot(1{,}49-1{,}33)}{1{,}49\cdot1{,}33+1{,}49\cdot1{,}0-2\cdot1{,}0\cdot1{,}33}=3{,}94\text{ см}\approx 4\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.