Поднимающийся воздушный шар

Пока оболочка не натянута, подъёмная сила не меняется; она начинает убывать, лишь когда гелий занял весь объём шара. Найдите высоту, где это происходит, через рост отношения \(T/p\) вдвое.

\(h_1=\dfrac{\gamma}{\gamma-1}\dfrac{R}{\mu g}T_0\left(1-2^{-0{,}4}\right)\approx 7250\) м.

Пока гелий не занял весь объём воздушного шара, подъёмная сила постоянна. Действительно, \(F=\rho_agV_\text{ш}\), где \(\rho_a\) — плотность воздуха, а \(V_\text{ш}\) — объём газа в шаре. Заметим, что пока оболочка шара не натянута, давление и температура газа в шаре равны давлению и температуре окружающего шар воздуха в данный момент. Так как \(\rho_a=p\mu/RT\), где \(p\) и \(T\) обозначают давление и температуру на данной высоте, и в то же время \(V_\text{ш}=\dfrac{mRT}{p\mu_\text{г}}\) (где \(\mu_\text{г}\) обозначает молярную массу гелия, а \(m\) — его полную массу), то подъёмная сила \(F=\rho_aV_\text{ш}g=mg\,\dfrac{\mu}{\mu_\text{г}}\).

Однопроцентное уменьшение так мало, что мы можем считать искомую высоту равной высоте, на которой сделанное для достижения вышеприведённого результата предположение об объёме гелия перестаёт выполняться, то есть он становится равным \(V_0\). Уравнение состояния газа говорит, что \(V\propto T/p\) (\(\propto\) обозначает пропорциональность); учитывая, что температуры и давления гелия в шаре и окружающего воздуха равны, можно заключить, что это высота, на которой отношение \(T/p\) для воздуха выросло в 2 раза по сравнению с ситуацией у поверхности земли.

Для мысленно выделенного объёма воздуха \(V\) отношение \(T/p\) пропорционально \(V\). Поэтому при подъёме мысленно выделенного объёма воздуха от поверхности земли до данной высоты его объём должен вырасти в два раза. Так как мы имеем дело с адиабатической атмосферой, то при подъёме объёма воздуха \(V\) его характеристики подчиняются закону адиабаты \(pV^\gamma=\text{const}\); сочетая это с законом идеального газа \(pV/T=\text{const}\), получаем \(V^{\gamma-1}T=\text{const}\). Так как \(V\) должен вырасти в 2 раза, то \(T\) должна уменьшиться в \(2^{\gamma-1}=2^{0{,}4}\) раза. Поэтому \(\dfrac{\gamma-1}{\gamma}\dfrac{\mu gh}{R}=T_0\left(1-2^{-0{,}4}\right)\), откуда \[h=\frac{\gamma}{\gamma-1}\,\frac{R}{\mu g}\,T_0\left(1-2^{-0{,}4}\right)\approx 7250\text{ м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.