Определение сопротивлений

Запишите, что напряжение на каждом из трёх путей через схему равно \(U_0\), и переберите, какие из резисторов могут быть равны 1 Ом, отбрасывая варианты, которые противоречат условию.

\(R_1=2\) Ом, \(R_2=1\) Ом, \(R_3=1\) Ом, \(R_4=1\) Ом, \(R_5=2\) Ом.

Электрический ток может пройти по цепи тремя способами: через верхнюю ветвь (резисторы \(R_1\) и \(R_4\)), через среднюю ветвь (резисторы \(R_2\), \(R_3\) и \(R_4\)) и через нижнюю ветвь (резисторы \(R_2\) и \(R_5\)). Падение напряжения на каждом резисторе равно произведению его сопротивления на протекающий через него ток, и сумма падений напряжения на всех трёх путях должна быть равна напряжению источника. Итак, \(I_1R_1+I_4R_4=I_2R_2+I_3R_3+I_4R_4=I_2R_2+I_5R_5=U_0\). Из этих уравнений можно получить выражения \(I_1R_1=I_2R_2+I_3R_3\) и \(I_3R_3+I_4R_4=I_5R_5\), описывающие падения напряжения в левой и правой частях схемы. Кроме того, можно записать уравнения для сил токов: \(I_1=I_0-I_2\), \(I_4=I_1+I_3\) и \(I_5=I_2-I_3\).

Заметим, что если \(R_1=R_2\) и \(R_4=R_5\), то из соображений симметрии должно выполняться \(R_3=0\).

Очевидно, что \(R_3=1\) Ом. Предположим сначала, что \(R_1=R_4=R_3\). В этом случае падение напряжения на верхней ветви выражается как \((2I_1+I_3)R_3=U_0\), откуда следует \(I_1=6\) А и \(I_2=4\) А. Рассматривая путь тока через среднюю ветвь, можно записать \(I_2R_2+U_3+(I_1+I_3)R_3=U_0\), откуда получаем \(R_2=R_5=1\) Ом. Такая схема удовлетворяет упомянутой выше симметрии, поэтому сделанное предположение неверно.

Предположим теперь, что \(R_2=R_5=R_3\). Для нижней ветви схемы можно записать \((2I_2-I_3)R_3=U_0\), то есть \(I_2=8\) А и \(I_1=2\) А. Падения напряжения в левой части схемы должны удовлетворять уравнению \(I_1R_1=(I_2+I_3)R_3\), откуда следует \(R_1=5\) Ом. Но в этом случае падение напряжения на верхней ветви схемы \((2I_1+I_3)R_1=30\) В \(\neq U_0\).

Предположим теперь, что \(R_1=R_5=R_3\). Падение напряжения на средней ветви схемы \(I_2R_2+U_3+(I_0-I_2+I_3)R_2=U_3+(I_0+I_3)R_2=U_0\), то есть \(R_2=R_4=1\) Ом. Это уже рассмотренный случай.

Единственная оставшаяся возможность — \(R_2=R_4=R_3\). Из левой части схемы получаем \((I_0-I_2)R_1=I_2R_3+U_3\), из правой \((I_2-I_3)R_1=U_3+(I_0-I_2+I_3)R_3\). Из них \((I_0-I_3)R_1=2U_3+(I_0+I_3)R_3\), то есть \(R_1=2\) Ом. Легко убедиться, что найденные значения удовлетворяют всем уравнениям для падений напряжения.

На рисунке: \(R_1=2\) Ом, \(R_2=1\) Ом, \(R_3=1\) Ом, \(R_4=1\) Ом, \(R_5=2\) Ом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.