Маятник

Период колебаний на пружине не зависит ни от силы тяжести, ни от постоянной силы поля; меняется только положение равновесия, и каждый раз, когда шарик разворачивается, оно перескакивает на другую сторону.

Шарик находится ниже начального положения на \(14\,\dfrac{EQ}{k}\).

Так как движение происходит только по вертикали, возьмём ось \(x\), направленную вертикально вниз. Из начального равновесия сил получаем \[Mg=kx_0,\] откуда начальное положение шарика \(x_0=\dfrac{Mg}{k}\) — это расстояние от положения равновесия пружины без шарика (без дополнительной нагрузки). Известно, что половина периода колебаний шарика на конце пружины равна \[\tau=\pi\sqrt{\frac Mk}.\] Ясно, что она не зависит от напряжённости поля тяжести. Так как силы, создаваемые и полем тяжести, и электрическим полем, ведут себя аналогично, можно заключить, что период колебаний не зависит и от напряжённости электрического поля и остаётся постоянным. Поэтому сила электрического поля лишь изменяет положение равновесия шарика каждый раз, когда шарик меняет направление движения (ведь в задаче сказано, что электрическое поле всегда направлено по направлению движения шарика), то есть через каждую половину периода колебаний \(\tau\). При движении вниз электрическое поле направлено вниз, и мы можем записать новое равновесие сил: \[Mg+EQ=kx_\downarrow,\] откуда положение равновесия при движении вниз \[x_\downarrow=\frac{Mg}{k}+\frac{EQ}{k}=x_0+\Delta x.\] Аналогично найдём положение равновесия при движении вверх, но теперь электрическое поле направлено вверх: \[x_\uparrow=\frac{Mg}{k}-\frac{EQ}{k}=x_0-\Delta x.\] Ясно, что при первоначальном включении электрического поля, когда оно направлено вниз, положение равновесия мгновенно становится соответствующим, а положение шарика сначала остаётся прежним. Поэтому шарик уже не в равновесии, а находится на расстоянии \(\Delta x\) от нового положения равновесия и начинает колебаться с амплитудой \(A_1=\Delta x\) около положения равновесия \(x_\downarrow\). Через время \(\tau\) шарик достигает расстояния \(x_0+2\Delta x\). Так как шарик теперь начинает двигаться вверх, вместе с электрическим полем меняется и положение равновесия шарика, и, двигаясь вверх, шарик колеблется уже с амплитудой \(A_2=3\Delta x\) около положения равновесия \(x_\uparrow\). Ясно, что с каждой сменой положения равновесия амплитуда шарика в дальнейшем растёт на \(2\Delta x\). Положение равновесия же сменяется через каждый промежуток времени \(\tau\). Теперь найдём положение шарика в заданный в задаче момент времени, равный \(7\tau\). За это время шарик один раз движется из начального положения вниз, а затем совершает 3 полных колебания, после них снова оказываясь внизу. После достижения низа из начального положения положение шарика \(x_0+2\Delta x\). Затем шарик движется вверх в положение \(x_0-4\Delta x\) и снова вниз в положение \(x_0+6\Delta x\). Абсолютная величина расстояния от начального положения, таким образом, увеличивается на \(2\Delta x\) через каждое \(\tau\). Через \(7\tau\) расстояние от начального положения, следовательно, равно \(7\cdot2\Delta x=14\Delta x\). Как мы выяснили ранее, шарик в искомый момент \(7\tau\) находится ниже начального положения \(x_0\) на \(14\Delta x=14\dfrac{EQ}{k}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.