Батарея конденсаторов

В схеме есть треугольник из трёх конденсаторов \(C\) (ветви \(ae\), \(af\), \(ef\)). Замените его эквивалентной звездой с одинаковыми лучами; ёмкость луча найдите из условия равенства ёмкостей между одной и той же парой узлов.

Воспользуемся преобразованием треугольник–звезда. В рассматриваемой схеме имеются треугольники \(aef\) и \(bef\). Это замкнутые контуры, которые присоединяются к остальной цепи за три узла, причём между любыми двумя узлами включён один конденсатор. Удобнее работать с треугольником \(aef\), поскольку он состоит из трёх одинаковых конденсаторов. Преобразуем этот треугольник в звезду.

Все три конденсатора звезды имеют одну и ту же ёмкость \(C_1\). Для того чтобы её найти, представим себе, что треугольник подключён к источнику за точки \(a\) и \(e\). Тогда имеем два последовательно соединённых конденсатора в ветвях \(af\) и \(fe\). К ним параллельно присоединён конденсатор в ветви \(ae\). Эквивалентная ёмкость треугольника в этом случае равна \(\dfrac{3C}{2}\). Если подключить к источнику звезду за те же точки, то будем иметь два последовательно соединённых конденсатора в ветвях \(ao\) и \(oe\) (конденсатор в ветви \(of\) не заряжен). Эквивалентная ёмкость звезды равна \(\dfrac{C_1}{2}\). Приравнивая ёмкости, находим: \[\frac{3C}{2} = \frac{C_1}{2} \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 3C.\] Заменяя в исходной схеме треугольник \(aef\) звездой, приходим к эквивалентной схеме, ёмкость которой легко найти по правилам сложения ёмкостей при параллельном и последовательном соединениях. Для ёмкости батареи получаем: \[C_0 = \frac{9C}{7}.\] Искомое отношение \(x\) равно: \[x = \frac{C_0 - C}{C} = \frac{2}{7} \approx 0{,}29.\]