Брусок в обруче

Центр масс всей системы изначально покоится. Стенки обруча гладкие, а значит, за всё движение суммарный импульс в горизонтальном направлении не меняется. Импульс силы тяжести тянет центр масс только вниз после начала движения, но не по горизонтали. На самом деле обруч сначала движется вправо, а через некоторое время — влево. Когда брусок прошёл угол \(\varphi\), как в условии, пусть его скорость в системе земли равна \(\vec v_b = v_x\hat\imath-v_y\hat\jmath\). Поскольку импульс сохраняется в горизонтальном направлении, имеем \(Mv_0 = mv_x\), где \(v_0\) — скорость центральной точки обруча (направленная влево). Поскольку механическая энергия системы сохраняется, \[2mgr = mgr(1-\cos\varphi)+\tfrac12Mv_0^2+\tfrac12mv_b^2,\] т. е. \(mgr(1+\cos\varphi) = \frac12Mv_0^2+\frac12mv_b^2\). Кроме того, в системе отсчёта обруча можно заметить, что \[\tg\varphi = \frac{v_y}{v_x+v_0}.\] Решая эти три уравнения, получаем \[\boxed{v_0 = m\cos\varphi\sqrt{\frac{2gr(1+\cos\varphi)} {(M+m)(M+m\sin^2\varphi)}}}.\] Теперь для ускорения обруча воспользуемся вторым законом Ньютона в неинерциальной системе обруча. Пусть ускорение центра обруча в этот момент равно \(a_0\) и направлено влево. Пусть ускорение бруска в системе земли равно \(\vec a_b = a_c\hat r+a_t\hat\theta\). В системе обруча в направлении \(\hat r\) радиальное ускорение бруска попросту равно \(a_{b,hr} = a_c-a_0\sin\varphi\).

По второму закону Ньютона для обруча в горизонтальном направлении имеем \(N\sin\varphi = Ma_0\), где \(N\) — нормальная сила бруска на обруч. В системе обруча баланс сил на брусок в радиальном направлении даёт \[N-mg\cos\varphi = ma_{b,hr}.\] Из этих уравнений после упрощений получаем \[\boxed{a_0 = \frac{mg\sin2\varphi}{M+m\sin^2\varphi} \Bigl[\frac12+\frac{(M+m)(1+\cos\varphi)} {\cos\varphi\,(M+m\sin^2\varphi)}\Bigr]}.\] Эта задача встречается в книге С. С. Кротова «Задачи по физике» (правда, там спрашивалась только скорость).