Колебания поршня

В вертикальном цилиндре под поршнем массой \(m\), способным двигаться вдоль его оси без трения, находится \(\nu\) молей идеального газа. Давление и температура окружающего воздуха равны \(P_0\) и \(T_0\), площадь сечения цилиндра — \(S\). Удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме равна \(c_V\). Теплоёмкостью цилиндра и поршня можно пренебречь. Первоначально система находится в равновесии, температура газа равна \(T_0\).

1. Считая процессы в газе квазистатическими, определите циклическую частоту малых свободных колебаний поршня в двух случаях: при поддержании постоянной температуры газа (\(\Omega_T\)) и в условиях полной теплоизоляции цилиндра (\(\Omega_S\)).

2. Пусть теперь цилиндр не изолирован. Мощность теплопередачи вследствие теплообмена между газом под поршнем и окружающим воздухом задаётся выражением: \[N = \beta (T - T_0),\] где \(T\) — температура газа, \(\beta\) — известный коэффициент. Под действием периодической внешней силы поршень совершает малые вынужденные колебания по закону: \[y(t) = h \sin(\Omega t),\] где \(y\) — отклонение поршня от положения равновесия, ось \(OY\) направлена вверх. Через некоторое время после начала действия силы устанавливаются малые гармонические колебания разности температур \(\Delta T = T - T_0\). Определите амплитуду этих колебаний и разность фаз между колебаниями разности температур и вертикальной координаты поршня.