Polyswitch

Плавкий предохранитель — это одноразовый защитный элемент. Его современной многоразовой альтернативой является самовосстанавливающийся предохранитель (известный также под названием Polyswitch).

В основе устройства лежит полимерный материал с проводящими вкраплениями. При достижении критической температуры \(T_{\text{пл}}\) в материале происходит фазовый переход: проводящие пути разрушаются, и электрическое сопротивление устройства резко возрастает. При остывании материала ниже \(T_{\text{пл}}\) структура проводящих путей восстанавливается, и сопротивление возвращается к исходному низкому значению.

Поведение некоторого самовосстанавливающегося предохранителя предлагается описывать с помощью следующей упрощённой модели. При температуре ниже критической температуры \(T_{\text{пл}} = 120\,^\circ\text{C}\) его сопротивление постоянно и равно \(R_1 = 1\) Ом. При \(T_{\text{пл}}\) оно скачкообразно увеличивается до \(R_2 = 10\) кОм и при дальнейшем нагреве не меняется. В самой точке фазового перехода (при \(T = T_{\text{пл}}\)) сопротивление может принимать любые промежуточные значения в диапазоне от 1 Ом до 10 кОм.

Считайте, что мощность теплоотдачи от предохранителя в окружающую среду описывается соотношением \[P = \alpha (T - T_0),\] где \(\alpha = 10\) мВт\(/^\circ\)C — коэффициент теплоотдачи, \(T_0 = 20\,^\circ\text{C}\) — температура окружающей среды, \(T\) — температура предохранителя.

1. Изобразите статическую вольт-амперную характеристику (ВАХ) предохранителя, считая, что в любой точке ВАХ он находится в установившемся тепловом режиме.

2. Пусть предохранитель подключён к идеальному источнику с ЭДС \(\mathcal{E} = 10\) В последовательно с реостатом, сопротивление которого может меняться от 0 до 50 Ом, и катушкой индуктивности \(L\). Считайте, что индуктивность катушки достаточно велика, так что тепловой баланс в предохранителе устанавливается гораздо быстрее, чем меняется ток. Это позволяет описывать состояние предохранителя его статической ВАХ в любой момент времени

   Сколько рабочих точек теоретически может реализоваться в цепи при различных значениях сопротивления реостата? Какие из этих точек являются устойчивыми относительно флуктуаций тока в цепи?

   Рабочая точка считается устойчивой по току, если при малом отклонении тока от значения в рабочей точке возникающая в катушке ЭДС самоиндукции стремится вернуть цепь в исходное состояние.

3. Теперь рассмотрим реальную цепь. Предохранитель подключили через ключ последовательно с резистором \(R\) к двум соединённым последовательно батарейкам 3R12 (ЭДС каждой \(\mathcal{E} = 4{,}5\) В, внутреннее сопротивление \(r = 1\) Ом). Какой ток установится в цепи после замыкания ключа, если \(R = 7\) Ом?

   Опишите качественно процессы, происходящие в цепи после замыкания ключа, если сопротивление резистора равно \(R = 2\) Ом. Учтите, что в этом случае ток может изменяться настолько быстро, что температура предохранителя не будет успевать подстраиваться под текущее значение мощности.