Политропы

1. Величина \(a\) является угловым коэффициентом касательной к графику процесса в точке \(N\), поэтому \[a = \left.\dfrac{dP}{dV}\right|_{V=V_0}.\qquad (179)\] Уравнения изотермы и адиабаты имеют вид \[PV = \text{const} = P_0V_0\qquad\text{и}\qquad PV^\gamma = \text{const} = P_0V_0^\gamma.\] Выразив отсюда \(P\) как функцию \(V\) и подставив в формулу (179), получим \[a_i = \left.-\dfrac{P_0V_0}{V^2}\right|_{V=V_0} = -\dfrac{P_0}{V_0},\qquad a_a = \left.-\gamma\dfrac{P_0V_0^\gamma}{V^{\gamma+1}}\right|_{V=V_0} = -\gamma\dfrac{P_0}{V_0}.\] 2. Общая теплоёмкость определяется формулой \(C = \delta Q/dT\), где \(\delta Q\) и \(dT\) — количество подведённой теплоты и повышение температуры на бесконечно малом участке процесса. Для определения знака \(C\) можно вместо \(\delta Q\) и \(dT\) подставлять малые конечные значения \(\Delta Q\) и \(\Delta T\).

В изотермическом процессе \(NI\) температура не изменяется, следовательно, если некоторый процесс начинается в той же точке \(N\) и идёт выше \(NI\), то температура в этом процессе повышается, а если ниже \(NI\), то понижается. Таким образом, \(\Delta T_1 > 0\), \(\Delta T_2 < 0\), \(\Delta T_3 < 0\).

В адиабатическом процессе \(NA\) теплообмен отсутствует, следовательно, если некоторый процесс начинается в той же точке \(N\) и идёт выше \(NA\), то тепло в этом процессе подводится, а если ниже \(NA\), то отводится. Таким образом, \(\Delta Q_1 > 0\), \(\Delta Q_2 > 0\), \(\Delta Q_3 < 0\).

Используя полученные соотношения, находим \[C_1 \approx \dfrac{\Delta Q_1}{\Delta T_1} > 0,\qquad C_2 \approx \dfrac{\Delta Q_2}{\Delta T_2} < 0,\qquad C_3 \approx \dfrac{\Delta Q_3}{\Delta T_3} > 0.\] 3. Аналогично первому пункту выразим угловой коэффициент касательной к графику процесса \(NB_2\) в точке \(N\): \[a = \left.-n\dfrac{P_0V_0^n}{V^{n+1}}\right|_{V=V_0} = -n\dfrac{P_0}{V_0}.\qquad (180)\] Пусть \(V_x\) — объём на указанной в условии изохоре, \(P_{I_x}\), \(P_{A_x}\), \(P_{B_x}\) — давления в точках \(I_x\), \(A_x\) и \(B_x\) соответственно, тогда в силу пропорциональности углового коэффициента тангенсу угла наклона касательной можно записать \[a_i = \dfrac{P_{I_x} - P_0}{V_x - V_0},\qquad a_a = \dfrac{P_{A_x} - P_0}{V_x - V_0},\qquad a = \dfrac{P_{B_x} - P_0}{V_x - V_0}.\] По свойству медианы \(P_{I_x} - P_{B_x} = P_{B_x} - P_{A_x}\), откуда \[a = \dfrac{a_i + a_a}{2} = -\dfrac{\gamma + 1}{2}\cdot\dfrac{P_0}{V_0}.\qquad (181)\] Сравнивая выражения (180) и (181), находим \(n = (\gamma + 1)/2\). По определению \[n = \dfrac{C - C_P}{C - C_V},\] откуда \[C = \dfrac{nC_V - C_P}{n - 1} = C_V - \dfrac{C_P - C_V}{n - 1}.\] Используя соотношение Майера (\(C_P - C_V = R\)), из которого с учётом равенства \(\gamma = C_P/C_V\) можно выразить \(C_V = R/(\gamma - 1)\), и подставив значение \(n\), получим \[C = \dfrac{R}{\gamma - 1} - \dfrac{R}{n - 1} = -\dfrac{R}{\gamma - 1}.\] 4. В процессе \(NI\) к газу подводят теплоту \(Q_1\) и газ совершает работу \(A_1\). Изменение внутренней энергии идеального газа на изотерме равно нулю, поэтому \(Q_1 = A_1\). В процессе \(IA\) от газа отводят теплоту \(Q_2\), а работа не совершается. В процессе \(AN\) над газом совершают работу \(A_2\), а теплообмена нет. По определению КПД \[\eta = \dfrac{A_1 - A_2}{Q_1} = 1 - \dfrac{A_2}{A_1}.\] Работы \(A_1\) на изотерме и \(A_2\) на адиабате найдём, проинтегрировав \(P(V)\): \[A_1 = \int\limits_{V_0}^{\alpha V_0}\dfrac{P_0V_0}{V}\,dV = P_0V_0\ln V\Big|_{V_0}^{\alpha V_0} = P_0V_0\ln\alpha,\] \[A_2 = \int\limits_{V_0}^{\alpha V_0}\dfrac{P_0V_0^\gamma}{V^\gamma}\,dV = \dfrac{P_0V_0^\gamma V^{-\gamma+1}}{-\gamma + 1}\Big|_{V_0}^{\alpha V_0} = P_0V_0\cdot\dfrac{1 - \alpha^{1-\gamma}}{\gamma - 1}.\] Таким образом, находим искомый КПД: \[\eta = 1 - \dfrac{1 - \alpha^{1-\gamma}}{(\gamma - 1)\ln\alpha}.\]