Теплоемкость системы с пружиной

Пусть \(T_1\) — начальная температура газа под поршнем, \(T_2\) — температура газа после того, как системе сообщено количество теплоты \(\Delta Q\). Поскольку трение отсутствует и сосуд теплоизолирован, вся теплота \(\Delta Q\) идет на изменение \(\Delta W\) внутренней энергии системы, т. е. \[\Delta Q = \Delta W.\] Изменение внутренней энергии системы складывается из изменения внутренней энергии газа и изменения потенциальной энергии сжатой пружины (так как теплоемкостью сосуда, поршня и пружины пренебрегаем).

Внутренняя энергия 1 моля идеального одноатомного газа при нагревании от температуры \(T_1\) до температуры \(T_2\) увеличивается на \[\Delta W_1 = (3/2)R(T_2 - T_1). \tag{1}\] Потенциальная энергия сжатой пружины изменяется на величину \[\Delta W_2 = \dfrac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2), \tag{2}\] где \(k\) — жесткость пружины, а \(x_1\) и \(x_2\) — значения абсолютного смещения левого конца (деформации) пружины при температурах газа \(T_1\) и \(T_2\) соответственно. Найдем связь между параметрами газа под поршнем и деформацией пружины.

Из условия равновесия поршня следует, что \[p = F/S = kx/S,\qquad x = pS/k, \tag{3}\] где \(p\) — давление газа, \(S\) — площадь поршня. Согласно закону Менделеева — Клапейрона, для 1 моля идеального газа \(pV = RT\). При деформации \(x\) пружины объем газа под поршнем равен \(V = xS\) и \(p = RT/(xS)\). Подставляя это выражение для \(p\) в (3), находим \[x^2 = RT/k. \tag{4}\] Таким образом, изменение потенциальной энергии сжатой пружины при нагревании системы равно \[\Delta W_2 = (R/2)(T_2 - T_1).\] Полное изменение внутренней энергии системы при нагревании от температуры \(T_1\) до температуры \(T_2\) равно \[\Delta W = \Delta W_1 + \Delta W_2 = 2R(T_2 - T_1),\] и теплоемкость системы составит \[C = \Delta Q/\Delta T = \Delta U/(T_2 - T_1) = 2R.\]