Лед под давлением

1) Считая воду и лед несжимаемыми, найдем уменьшение температуры смеси в результате увеличения внешнего давления: \[\Delta T = (p_1/p)\cdot1\text{ К} \approx 0{,}18\text{ К}.\] Столь малое изменение температуры указывает на то, что растает лишь небольшая масса льда, т. е. \(\Delta m \ll m_\text{л}\).

Запишем закон сохранения энергии: \[A = \lambda\,\Delta m - (c_\text{л} + c_\text{в})m\,\Delta T.\] Оценим работу \(A\) внешней силы. Изменение объема смеси в результате таяния льда массы \(\Delta m\) равно \[\Delta V = \dfrac{\Delta m}{\rho_\text{л}} - \dfrac{\Delta m}{\rho_\text{в}} = \Delta m\dfrac{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}}{\rho_\text{в}\rho_\text{л}} \ll 0{,}1\dfrac{m}{\rho_\text{л}} \sim 10^{-4}\text{ м}^3.\] Мы учли, что плотность воды при замерзании уменьшается примерно на \(10\,\%\), т. е. \((\rho_\text{в} - \rho_\text{л})/\rho_\text{в} \approx 0{,}1\). В результате имеем оценку \[A \leqslant p_1\,\Delta V = 0{,}25\text{ кДж}.\] Количество теплоты \(\Delta Q\), необходимое для нагревания массы \(m\) льда и массы \(m\) воды на температуру \(\Delta T\), равно \[\Delta Q = (c_\text{л} + c_\text{в})m\,\Delta T \approx 1{,}1\text{ кДж}.\] Видно, что \(A \ll \Delta Q\); поэтому можно считать, что \(\lambda\,\Delta m = \Delta Q\), откуда \[\Delta m = \Delta Q/\lambda = 3{,}2\text{ г}.\] Изменение объема за счет таяния этой массы льда равно \[\Delta V_1 = \Delta m\dfrac{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}}{\rho_\text{в}\rho_\text{л}} \approx 3{,}5\cdot10^{-7}\text{ м}^3.\] Учитывая, что при медленном увеличении давления изменение объема \(\Delta V_1 \sim \Delta p\), найдем работу внешней силы: \[A = p_1\,\Delta V_1/2 \approx 0{,}44\text{ Дж}.\] 2) Примем во внимание сжимаемость льда и воды. Изменение объема льда и воды будет равно \[\Delta V' = \dfrac{p_1}{p'}10^{-2}V_\text{ов} + \dfrac{p_1}{2p'}10^{-2}V_\text{ол} \approx 2\cdot10^{-6}\text{ м}^3,\] где \(V_\text{ов} = 10^{-3}\) м\(^3\) и \(V_\text{ол} = 1{,}1\cdot10^{-3}\) м\(^3\) — начальные объемы воды и льда.

Работа \(A'\) внешней силы, затраченная на сжатие смеси, равна \[A' = p_1\,\Delta V'/2 \approx 2{,}5\text{ Дж}.\] Полная работа внешней силы равна \[A_\text{полн} = A + A' \approx 3\text{ Дж}.\] Ясно, что, поскольку опять \(A_\text{полн} \ll \Delta Q\), масса растаявшего льда будет такой же, как в случае 1.