Сосуд с водородом и водой

Задачу проще всего решать графически. Полное давление \(p\) в сосуде складывается из давления насыщенных паров воды \(p_\text{нас}\) и давления водорода \(p_{\text{H}_2}\). Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона, давление водорода равно \[p_{\text{H}_2} = \dfrac{m_{\text{H}_2}}{\mu_{\text{H}_2}V}RT = \dfrac{2\cdot10^{-3}\text{ кг}\cdot8{,}3\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}}{2\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}\cdot2\cdot10^{-3}\text{ м}^3}T = 4{,}15\cdot10^3\,T,\] где \(p_{\text{H}_2}\) измеряется в паскалях. Зависимость \(p_{\text{H}_2}(T)\) линейная; поэтому, вычислив \(p_{\text{H}_2}(T)\) при двух значениях температур, например при \[\begin{aligned} T_1 &= 373\text{ К},\quad p_{\text{H}_2} = 15{,}5\cdot10^5\text{ Па},\\ T_2 &= 453\text{ К},\quad p_{\text{H}_2} = 18{,}8\cdot10^5\text{ Па}, \end{aligned}\] построим график \(p_{\text{H}_2}(T)\).

Пользуясь указанием в условии задачи, строим график функции \(p_\text{нас}(T)\). «Складывая» графики \(p_{\text{H}_2}(T)\) и \(p_\text{нас}(T)\), получаем график зависимости полного давления в сосуде от температуры \(p(T)\) (рис. 201). Из полученного графика \(p(T)\) по заданным в условии задачи начальному и конечному давлениям находим начальную и конечную температуры в сосуде:

\[\begin{aligned} p_\text{н} &= 17\cdot10^5\text{ Па},\quad T_1 = T_\text{н} \approx 380\text{ К},\\ p_\text{к} &= 26\cdot10^5\text{ Па},\quad T_2 = T_\text{к} \approx 440\text{ К}. \end{aligned}\] Найдем теперь массу испарившейся воды. Считая пары воды идеальным газом, определим начальное \(p_{\text{п}1}\) и конечное \(p_{\text{п}2}\) давления паров воды в сосуде. Для этого воспользуемся полученными графиками. При \(T_1 = 380\) К давление водорода равно \(p'_{\text{H}_2} \approx 15{,}5\cdot10^5\) Па и \[p_{\text{п}1} = p_\text{н} - p'_{\text{H}_2} \approx 1{,}5\cdot10^5\text{ Па}.\] При \(T_2 = 440\) К \(p''_{\text{H}_2} \approx 18\cdot10^5\) Па и \[p_{\text{п}2} = p_\text{к} - p''_{\text{H}_2} \approx 8\cdot10^5\text{ Па}.\] Напишем уравнение состояния для паров воды при \(p_{\text{п}1}\), \(T_1\) и \(p_{\text{п}2}\), \(T_2\): \[p_{\text{п}1}V = \dfrac{m_{\text{п}1}}{\mu_\text{п}}RT_1,\qquad p_{\text{п}2}V = \dfrac{m_{\text{п}2}}{\mu_\text{п}}RT_2,\] где \(m_{\text{п}1}\), \(m_{\text{п}2}\) — начальная и конечная массы паров в сосуде. Отсюда находим массу испарившейся воды: \[\begin{aligned} \Delta m = m_{\text{п}2} - m_{\text{п}1} = \dfrac{\mu_\text{п}V}{R}\left(\dfrac{p_{\text{п}2}}{T_2} - \dfrac{p_{\text{п}1}}{T_1}\right) = \\ = \dfrac{18\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}\cdot2\cdot10^{-3}\text{ м}^3}{8{,}3\text{ Дж/(К}\cdot\text{моль)}}\left(\dfrac{8\text{ Па}}{440\text{ К}} - \dfrac{1{,}5\text{ Па}}{380\text{ К}}\right)\cdot10^5 = 6\cdot10^{-3}\text{ кг} = 6\text{ г}. \end{aligned}\]