Гелий под поршнем

Если бы объём не менялся, такое нагревание потребовало бы больше теплоты, чем сообщено. Значит, газ сжимается и над ним совершают работу. Оцените работу при почти постоянном давлении.

Вначале определим, как меняется объём гелия в данном процессе. Если бы объём не менялся, а температура увеличилась на \(\Delta T\), то всё сообщаемое количество теплоты пошло бы на изменение внутренней энергии гелия: \(\Delta U = (3/2)\nu R\,\Delta T \approx 250\) Дж. Поскольку \(\Delta U > Q = 100\) Дж, то газом, согласно первому началу термодинамики, совершается работа \(A = Q - \Delta U \approx -150\) Дж, то есть объём гелия должен уменьшаться. При этом температура гелия растёт, и давление должно возрастать быстрее, чем при изотермическом процессе.

Поскольку \(\Delta T = 10\) К \(\ll T_0 = 273\) К, то будем считать, что величина изменения объёма \(|\Delta V| \ll V_0 = 2\cdot 22{,}4\) л, и изменение давления \(\Delta p\) также невелико по сравнению с начальным давлением \(p_0 \approx 10^5\) Па. Тогда при грубой оценке можно положить \(p \approx p_0\) и \(A \approx p_0\Delta V\). Отсюда получаем, что \(\Delta V \approx A/p_0 = (Q - (3/2)\nu R\,\Delta T)/p \approx -1{,}5\) л. Видно, что действительно \(|\Delta V| \ll V_0 = 44{,}8\) л, поэтому приближение малого изменения объёма действительно оправдано.

На самом деле (см. выше) давление в процессе возрастает до \[p_{\text{к}} = \nu R\dfrac{T_0 + \Delta T}{V_0 + \Delta V} = p_0\dfrac{1 + \dfrac{\Delta T}{T_0}}{1 + \dfrac{\Delta V}{V_0}} \approx 1{,}07p_0,\] и более точная оценка получится, если в выражение для работы \(A\) подставить не \(p_0\), а среднее значение давления в процессе \(p_{\text{ср}} = (p_0 + p_{\text{к}})/2\). Тогда уточнённое таким образом изменение объёма будет равно \(\Delta V \approx -1{,}45\) л, что почти не отличается от предыдущей, более грубой оценки.

Замечание. В условии сказано, что теплоёмкость гелия в данном процессе можно считать постоянной. Это означает, что процесс является политропическим (так называются процессы, проходящие при постоянной теплоёмкости), однако исследование этих процессов выходит за рамки школьной программы. Точный расчёт, использующий теорию политропических процессов, даёт \(\Delta V \approx -1{,}43\) л, так что даже наша грубая оценка совсем неплоха!