Тень кузнечика

Тень лежит на пересечении асфальта с лучом от Солнца, проходящим через кузнечика. Выразите координату тени через координаты кузнечика и угол \(\varphi\) и исследуйте её зависимость от времени.

Направим ось \(X\) по горизонтали в сторону Солнца, ось \(Y\) — вертикально вверх, а начало координат поместим в точку, где сидел кузнечик. Закон движения кузнечика имеет вид: \[x(t) = v_0\cos\alpha\cdot t,\quad y(t) = v_0\sin\alpha\cdot t - \dfrac{gt^2}{2},\quad\text{причём}\quad 0 < t < \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}.\] Координату тени кузнечика на асфальте \(X(t)\) можно определить из условия \(y(t)/(x(t) - X(t)) = \operatorname{tg}\varphi\). Отсюда \[X(t) = x(t) - y(t)\operatorname{ctg}\varphi = v_0(\cos\alpha - \sin\alpha\operatorname{ctg}\varphi)t + \dfrac{gt^2}{2}\operatorname{ctg}\varphi.\] Следовательно, движение тени кузнечика на асфальте является равноускоренным с ускорением \(g\operatorname{ctg}\varphi\) и начальной скоростью \[V_0 = v_0(\cos\alpha - \sin\alpha\operatorname{ctg}\varphi) = v_0\dfrac{\sin(\varphi - \alpha)}{\sin\varphi}.\] Следовательно, скорость тени в момент времени \(t\) равна \[V(t) = v_0\dfrac{\sin(\varphi - \alpha)}{\sin\varphi} + gt\operatorname{ctg}\varphi,\quad 0 < t < \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}.\]