Мост из вольтметров и миллиамперметров

Вольтметры и миллиамперметры — это просто резисторы с известными отношением сопротивлений. Обозначьте токи через приборы по первому правилу Кирхгофа и запишите второе для двух контуров без ЭДС.

Пусть \(I\) — ток через миллиамперметр, включённый в диагональ мостика, тогда \(\lambda I\) — ток через другой миллиамперметр (см. рисунок). Возможные значения \(\lambda\) равны \(3\), \(1/3\), \(-3\) и \(-1/3\). Токи через вольтметры обозначим, согласно первому правилу Кирхгофа, как \(J\), \((\lambda - 1)I\) и \(J + I\).

Обозначим через \(R_A\) и \(R_V\) сопротивления миллиамперметра и вольтметра и запишем второе правило Кирхгофа для двух соседних контуров, не содержащих ЭДС: \[(J + I)R_V + IR_A = (\lambda - 1)IR_V,\quad JR_V = IR_A + \lambda IR_A.\] Подставляя \(JR_V\) из второго соотношения в первое, получаем: \[(\lambda + 2)IR_A = (\lambda - 2)IR_V,\quad\text{откуда}\quad\dfrac{R_V}{R_A} = \dfrac{\lambda + 2}{\lambda - 2}.\] При \(\lambda = 1/3\) и \(\lambda = -1/3\) отношение сопротивлений оказывается отрицательным, следовательно, эти случаи невозможны. В остальных случаях имеем: \(R_V/R_A = 5\) при \(\lambda = 3\) и \(R_V/R_A = 1/5\) при \(\lambda = -3\).

Поскольку по условию сопротивление вольтметра больше сопротивления миллиамперметра, имеем: \(R_V/R_A = 5\), \(\lambda = 3\).

Отсюда находим токи, текущие через вольтметры \(V_1\), \(V_2\) и \(V_3\): \[J = (\lambda + 1)I\dfrac{R_A}{R_V} = \dfrac{4}{5}I;\quad(\lambda - 1)I = 2I;\quad J + I = \dfrac{9}{5}I.\] Следовательно, показания этих вольтметров \(V_1\), \(V_2\) и \(V_3\) относятся, как числа \(\dfrac{4}{5}\), \(2\) и \(\dfrac{9}{5}\).

Поскольку \(U_1 + U_3 = U_0 = 1{,}3\) В, получаем: \(U_1 = 0{,}4\) В, \(U_2 = 1\) В, \(U_3 = 0{,}9\) В.