Два корабля у звезды

Траектория не зависит от массы корабля. Из величин \(GM\), \(l\) и \(v\) можно составить единственную безразмерную комбинацию — от неё и зависит угол поворота.

Прежде всего, заметим, что траектория движения материальной точки в поле тяжести звезды не зависит от массы материальной точки. Угол поворота корабля \(\varphi\) поэтому однозначно зависит от его минимального расстояния до звезды \(l\), его скорости на бесконечности \(v\) и величины \(GM\), входящей в закон всемирного тяготения (\(G\) — гравитационная постоянная). Эти величины имеют следующие размерности: \[[GM] = \text{м}^3\cdot\text{с}^{-2},\quad [l] = \text{м},\quad [v] = \text{м}\cdot\text{с}^{-1}.\] Из них можно составить только одну независимую безразмерную комбинацию: \(GM/(lv^2)\). Следовательно, угол поворота корабля \(\varphi\) является однозначной функцией от такой комбинации, и для обоих кораблей эти величины должны совпадать: \(\dfrac{GM}{l_1v_1^2} = \dfrac{GM}{l_2v_2^2}\), откуда \(l_2 = l_1(v_1/v_2)^2\).

Данный ответ можно также подтвердить, используя соображения подобия. Действительно, уравнение движения для корабля, движущегося в поле тяжести звезды, имеет вид: \(\vec a = -GM\vec r/r^3\). Если увеличить все расстояния в \(\lambda\) раз, а промежутки времени в \(\lambda^{3/2}\) раза, то скорости изменятся в \(\lambda^{-1/2}\) раза, а ускорение \(\vec a\) и величина \(GM\vec r/r^3\) — в \(\lambda^{-2}\) раз. Если в какой-то момент времени радиус-векторы и скорости двух материальных точек, движущихся в поле тяготения звезды, связаны соотношениями \(\vec r_1 = \lambda\vec r_2\), \(\vec v_1 = \lambda^{-1/2}\vec v_2\), то эти соотношения будут справедливы во все моменты времени. Значит, если два корабля одновременно пролетают на минимальном расстоянии от звезды таким образом, что справедливы эти соотношения, то из них, исключая \(\lambda\), получим написанный выше ответ для \(l_2\).