Шайба на вращающейся доске

Пока шайба неподвижна относительно доски, она движется по окружности с ускорением \(\omega^2R\), направленным к шарниру. Запишите условие \(|F_{\text{тр}}| \leqslant \mu N\) и посмотрите, при каком \(\alpha\) оно нарушится.

Ясно, что если резко начать вращать доску, опуская её свободный конец, то в момент начала вращения шайба сразу оторвётся от доски. Поэтому мы будем рассматривать случай, когда свободный конец доски поднимают.

При сообщении доске достаточно большой угловой скорости шайба сразу же начнёт скользить по доске. При не слишком большой угловой скорости шайба некоторое время будет неподвижна относительно доски, двигаясь при этом по окружности, а затем начнётся скольжение.

На шайбу действуют сила тяжести, сила реакции опоры \(N\) и сила трения покоя \(F_{\text{тр}}\) (см. рисунок). Поскольку ускорение шайбы при движении по окружности равно \(\omega^2R\) и направлено к шарниру, имеем: \[N = mg\cos\alpha,\quad mg\sin\alpha - F_{\text{тр}} = m\omega^2R.\] Для шайбы, неподвижной относительно доски, должно выполняться условие \(|F_{\text{тр}}| \leqslant \mu N\). Следовательно, шайба не будет скользить по доске при \(|mg\sin\alpha - m\omega^2R| \leqslant \mu mg\cos\alpha\).

Отсюда получаем, что при \(\omega^2R > \mu g\) шайба начнёт скользить по доске сразу же, при \(\alpha = 0\).

Пусть теперь \(\omega^2R \leqslant \mu g\), и \(\alpha \neq 0\). Определим, при каких условиях возможно скольжение шайбы к шарниру и от него.

1. Шайба будет скользить к шарниру, если начнёт выполняться условие \(\sin\alpha - \mu\cos\alpha > \omega^2R/g\). Введём обозначение: \(\beta = \operatorname{arctg}\mu = \arccos\dfrac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}} = \arcsin\dfrac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}\). Тогда приведённое условие можно записать в виде: \[\sin(\alpha - \beta) > \dfrac{\omega^2R}{g\sqrt{\mu^2 + 1}},\quad\text{или}\quad\alpha > \beta + \arcsin\dfrac{\omega^2R}{g\sqrt{\mu^2 + 1}}.\] Отметим, что ввиду того, что \(\mu < 1\), имеем \(\beta + \arcsin\dfrac{\omega^2R}{g\sqrt{1 + \mu^2}} < \dfrac{\pi}{2}\), поэтому, начиная с некоторой величины угла \(\alpha\), рассматриваемое условие будет выполняться.

2. Аналогично, шайба может начать скользить от шарнира, если \(\sin\alpha - \mu\cos\alpha < \omega^2R/g\). Это условие можно записать в виде: \(\alpha > \pi - \beta - \arcsin\dfrac{\omega^2R}{g\sqrt{\mu^2 + 1}}\), однако при \(0 < \alpha < \pi/2\) оно не выполняется.

Комбинируя полученные результаты, приходим к ответу: при \(\omega^2R > \mu g\) шайба начнёт скользить по доске при \(\alpha = 0\); при \(\omega^2R \leqslant \mu g < g\) шайба начнёт скользить по доске к шарниру при \[\alpha > \operatorname{arctg}\mu + \arcsin\dfrac{\omega^2R}{g\sqrt{\mu^2 + 1}}.\]