Поезд в туннеле

Всё тепло мотора за время \(\Delta t\) уходит на нагрев воздуха, который поезд «проталкивает» через туннель за это время; число молей найдите из объёма вытесненного воздуха и уравнения состояния, теплоёмкость берите при постоянном давлении.

\(\Delta T=\dfrac{8PT}{7\pi d^2 v p}\) \(\approx2{,}2\) К (в официальном решении — \(1{,}8\) К).

Температура воздуха в туннеле растёт, потому что мотор нагревает находящийся в туннеле воздух при прохождении поезда. Рассмотрим движение поезда за промежуток времени \(\Delta t\). За это время поезд проходит путь \(s=v\Delta t\), а объём вытесненного поездом воздуха \(\Delta V=\pi d^2 s/4\). Масса воздуха \(m=\Delta V\rho\), а число молей \[N=\frac{m}{M}=\frac{\Delta V\rho}{M}=\frac{\pi d^2 v\Delta t\rho}{4M}.\] Из уравнения состояния идеального газа \(pV=\dfrac{m}{M}RT\) можно выразить \(\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{pM}{RT}\).

В моторе поезда за то же время выделяется количество теплоты \(Q_1=P\Delta t\).

Молярная теплоёмкость одноатомного газа при постоянном объёме \(C_1=\tfrac32 R\). Поэтому молярная теплоёмкость двухатомного газа \(C_2=\tfrac53\cdot\tfrac32 R=\tfrac52 R\). Молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении, следовательно, \(C=\tfrac52 R+R=\tfrac72 R\). Для нагрева воздуха на \(\Delta T\) требуется количество теплоты \(Q_2=NC\Delta T\).

Приравняем количества теплоты \(Q_1\) и \(Q_2\): \[NC\Delta T=P\Delta t .\] Подставляя найденные выражения для \(N\) и \(C\), после преобразований получаем \[\Delta T=\frac{8PT}{7\pi d^2 v p}\approx2{,}2\text{ К}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.