Космический мусор

В момент наибольшего сближения все тела покоятся друг относительно друга; запишите сохранение импульса, а затем сохранение энергии с учётом электрической энергии шаров.

\(d=\dfrac{1}{\dfrac1l+\dfrac{mMv^2}{kq^2(m+2M)}}\), где \(k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\).

Решение 1. В системе отсчёта центра масс расстояние между шарами минимально в момент, когда система покоится. Величину \(d\) находим из закона сохранения энергии, который выполняется, поскольку верёвка (будучи прямой) в момент удара не действует на кусок мусора силой и поэтому не делает удар пластичным.

Скорость движения центра масс в системе отсчёта спутника \[v_c=\frac{mv}{m+2M},\] начальная скорость гайки в системе центра масс \[w=v-v_c=v\left(1-\frac{m}{m+2M}\right)=v\,\frac{2M}{m+2M},\] а скорость спутника \[W=v_c=\frac{mv}{m+2M}.\] Закон сохранения энергии в системе отсчёта центра масс: \[\frac{mw^2}{2}+\frac{2MW^2}{2}+\frac{kq^2}{l}=\frac{kq^2}{d},\] откуда \[d=\frac{kq^2}{\dfrac{mw^2}{2}+MW^2+\dfrac{kq^2}{l}} =\frac{kq^2}{\dfrac{mv^2}{2}\left(\dfrac{2M}{m+2M}\right)^2+Mv^2\left(\dfrac{m}{m+2M}\right)^2+\dfrac{kq^2}{l}}=\] \[=\frac{1}{\dfrac1l+\dfrac{mMv^2}{kq^2(m+2M)}}.\]

Решение 2. В момент, когда расстояние между шарами минимально, части спутника неподвижны друг относительно друга. Значит, в этот момент система движется как одно твёрдое тело. Возьмём инерциальную систему отсчёта, в которой спутник до столкновения покоился, и обозначим скорость системы в момент достижения минимального расстояния через \(v_1\).

Из закона сохранения импульса \[mv=(m+2M)v_1\quad\Longrightarrow\quad v_1=\frac{mv}{m+2M}.\] Выполняется и закон сохранения энергии: \[\frac{mv^2}{2}+\frac{kq^2}{l}=\frac{(m+2M)v_1^2}{2}+\frac{kq^2}{d},\] \[\frac{mv^2}{2}+\frac{kq^2}{l}=\frac{m^2v^2}{2(m+2M)}+\frac{kq^2}{d},\] \[d=\frac{kq^2}{\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{kq^2}{l}-\dfrac{m^2v^2}{2(m+2M)}}=\frac{1}{\dfrac1l+\dfrac{mMv^2}{kq^2(m+2M)}}.\]

Ответ: \[d=\frac{1}{\dfrac1l+\dfrac{mMv^2}{kq^2(m+2M)}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.