Эстонская, 2008/09, заключительный этап, 9-11 класс, теоретический тур

Подсказка

Ветка не выскальзывает, пока сила трения на обоих лезвиях уравновешивает составляющую сил реакции вдоль оси ножниц; запишите это условие через угол между нормалью к лезвию и осью.

Ответ

\(\mu=\tan\dfrac{\alpha}{2}\).

Решение

Сила трения должна уравновешивать составляющую силы реакции опоры вдоль оси ножниц (см. рисунок). Из простой геометрии получаем, что \(\mu=\tan\dfrac{\alpha}{2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Натяжение минимально, когда сила трения максимальна, то есть равна \(\mu N\); запишите второй закон Ньютона в проекциях на горизонталь и вертикаль.

Ответ

\(T=m\dfrac{a-\mu g}{\sin\alpha-\mu\cos\alpha}\approx 14\) Н.

Решение

Ускорение \(a=v_0/t=2{,}5\) м/с\(^2\). По второму закону Ньютона \[\vec N+\vec T+\vec F_h+m\vec g=m\vec a .\] Натяжение верёвки минимально, когда сила трения \(F_h\) достигает максимального значения \(\mu N\). Проекция на ось \(x\): \[T\sin\alpha+\mu N=ma;\] на ось \(y\): \[N+T\cos\alpha-mg=0.\] Решая систему, находим \[T=m\frac{a-\mu g}{\sin\alpha-\mu\cos\alpha}\approx 14\text{ Н}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Заряд каждой изолированной пары пластин сохраняется; введите неизвестные заряды среднего и угловых конденсаторов и используйте равенство напряжений на двух ветвях, подключённых к одним и тем же узлам.

Ответ

Заряд среднего конденсатора равен \(q\).

Решение

Пусть в итоге на среднем конденсаторе (ёмкостью \(3C\)) собрался заряд \(a\), а на конденсаторах ёмкостью \(3C\), расположенных в углах, — заряд \(b\). Рассмотрим верхний левый конденсатор: на его отрицательной пластине теперь заряд \(-q+a+b\), а на положительной — \(q+b\). Получаем уравнение \[-(-q+a+b)=q+b,\] \[q-a-b=q+b,\] \[b=-a/2.\] Кроме того, из равенства напряжений получаем \[\frac{a}{3C}=\frac{q+b}{C}+\frac{b}{3C},\] \[a=3q+4b,\] \[a+2a=3q,\] откуда \(a=q\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Всё тепло мотора за время \(\Delta t\) уходит на нагрев воздуха, который поезд «проталкивает» через туннель за это время; число молей найдите из объёма вытесненного воздуха и уравнения состояния, теплоёмкость берите при постоянном давлении.

Ответ

\(\Delta T=\dfrac{8PT}{7\pi d^2 v p}\) \(\approx2{,}2\) К (в официальном решении — \(1{,}8\) К).

Решение

Температура воздуха в туннеле растёт, потому что мотор нагревает находящийся в туннеле воздух при прохождении поезда. Рассмотрим движение поезда за промежуток времени \(\Delta t\). За это время поезд проходит путь \(s=v\Delta t\), а объём вытесненного поездом воздуха \(\Delta V=\pi d^2 s/4\). Масса воздуха \(m=\Delta V\rho\), а число молей \[N=\frac{m}{M}=\frac{\Delta V\rho}{M}=\frac{\pi d^2 v\Delta t\rho}{4M}.\] Из уравнения состояния идеального газа \(pV=\dfrac{m}{M}RT\) можно выразить \(\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{pM}{RT}\).

В моторе поезда за то же время выделяется количество теплоты \(Q_1=P\Delta t\).

Молярная теплоёмкость одноатомного газа при постоянном объёме \(C_1=\tfrac32 R\). Поэтому молярная теплоёмкость двухатомного газа \(C_2=\tfrac53\cdot\tfrac32 R=\tfrac52 R\). Молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении, следовательно, \(C=\tfrac52 R+R=\tfrac72 R\). Для нагрева воздуха на \(\Delta T\) требуется количество теплоты \(Q_2=NC\Delta T\).

Приравняем количества теплоты \(Q_1\) и \(Q_2\): \[NC\Delta T=P\Delta t .\] Подставляя найденные выражения для \(N\) и \(C\), после преобразований получаем \[\Delta T=\frac{8PT}{7\pi d^2 v p}\approx2{,}2\text{ К}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Каждая точка графика — средняя скорость за последние 15 с, то есть путь за этот интервал, делённый на 15 с; по снижению этого среднего найдите, какую часть интервала бегун стоял.

Ответ

\(\tau\approx 16\) с.

Решение

В момент \(t_1=75\) с спортсмен ещё бежал, так как средняя скорость за предыдущий период ещё не уменьшилась (\(v_0=11\) км/ч); к моменту \(t_2=90\) с средняя скорость упала до \(v_1=8\) км/ч, значит, он уже простоял время \(\tau_1\), где \(v_1T=v_0(T-\tau_1)\) и \(T=15\) с. Поэтому \(\tau_1=\left(1-\dfrac{v_1}{v_0}\right)T\). Аналогично, после момента \(t_2\) спортсмен стоял ещё время \(\tau_2\), где \(v_2T=v_3(T-\tau_2)\), \(v_2=3\) км/ч и \(v_3=14\) км/ч. Поэтому \(\tau_2=\left(1-\dfrac{v_2}{v_3}\right)T\), а полное время остановки \[\tau=\tau_1+\tau_2=T\left(2-\frac{v_1}{v_0}-\frac{v_2}{v_3}\right)\approx 16\text{ с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Предмет виден, если его изображение, построенное через объектив и \(L_1\), попадает в отверстие; проведите между линзами лучи параллельно оси и через центры линз и найдите подобные треугольники.

Ответ

\(r_{\text{пред}}=\dfrac{d\cdot f_{\text{obj}}}{2f_1}\).

Решение

Оптическая схема решения приведена на рисунке. При построении лучи между линзами следует проводить параллельными и через центры линз. Тогда эти лучи в плоскостях предмета и отверстия дают соответственно положения предмета и изображения.

На рисунке: objektiiv — объектив, objektiivi fokaaltasand — фокальная плоскость объектива, ava — отверстие.

Закрашенные треугольники подобны по признаку ННН (по трём сторонам). Поэтому выполняется равенство \[\frac{d}{2f_1}=\frac{r_{\text{пред}}}{f_{\text{obj}}},\] откуда \[r_{\text{пред}}=\frac{d\cdot f_{\text{obj}}}{2f_1}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В момент наибольшего сближения все тела покоятся друг относительно друга; запишите сохранение импульса, а затем сохранение энергии с учётом электрической энергии шаров.

Ответ

\(d=\dfrac{1}{\dfrac1l+\dfrac{mMv^2}{kq^2(m+2M)}}\), где \(k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\).

Решение

Решение 1. В системе отсчёта центра масс расстояние между шарами минимально в момент, когда система покоится. Величину \(d\) находим из закона сохранения энергии, который выполняется, поскольку верёвка (будучи прямой) в момент удара не действует на кусок мусора силой и поэтому не делает удар пластичным.

Скорость движения центра масс в системе отсчёта спутника \[v_c=\frac{mv}{m+2M},\] начальная скорость гайки в системе центра масс \[w=v-v_c=v\left(1-\frac{m}{m+2M}\right)=v\,\frac{2M}{m+2M},\] а скорость спутника \[W=v_c=\frac{mv}{m+2M}.\] Закон сохранения энергии в системе отсчёта центра масс: \[\frac{mw^2}{2}+\frac{2MW^2}{2}+\frac{kq^2}{l}=\frac{kq^2}{d},\] откуда \[d=\frac{kq^2}{\dfrac{mw^2}{2}+MW^2+\dfrac{kq^2}{l}} =\frac{kq^2}{\dfrac{mv^2}{2}\left(\dfrac{2M}{m+2M}\right)^2+Mv^2\left(\dfrac{m}{m+2M}\right)^2+\dfrac{kq^2}{l}}=\] \[=\frac{1}{\dfrac1l+\dfrac{mMv^2}{kq^2(m+2M)}}.\]

Решение 2. В момент, когда расстояние между шарами минимально, части спутника неподвижны друг относительно друга. Значит, в этот момент система движется как одно твёрдое тело. Возьмём инерциальную систему отсчёта, в которой спутник до столкновения покоился, и обозначим скорость системы в момент достижения минимального расстояния через \(v_1\).

Из закона сохранения импульса \[mv=(m+2M)v_1\quad\Longrightarrow\quad v_1=\frac{mv}{m+2M}.\] Выполняется и закон сохранения энергии: \[\frac{mv^2}{2}+\frac{kq^2}{l}=\frac{(m+2M)v_1^2}{2}+\frac{kq^2}{d},\] \[\frac{mv^2}{2}+\frac{kq^2}{l}=\frac{m^2v^2}{2(m+2M)}+\frac{kq^2}{d},\] \[d=\frac{kq^2}{\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{kq^2}{l}-\dfrac{m^2v^2}{2(m+2M)}}=\frac{1}{\dfrac1l+\dfrac{mMv^2}{kq^2(m+2M)}}.\]

Ответ: \[d=\frac{1}{\dfrac1l+\dfrac{mMv^2}{kq^2(m+2M)}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Трение верёвки о стержень уменьшает силу в геометрической прогрессии по числу витков: сравните показания динамометра при полувитке и при полном витке.

Ответ

\(m=\dfrac{F_1^2}{F_2\,g}\).

Решение

Подвесим груз на конце верёвки так, чтобы верёвка делала пол-оборота вокруг стержня, а свободный конец верёвки будем удерживать неподвижно с помощью динамометра; пусть показание \(F_1\). Теперь повторим опыт с той разницей, что верёвка делает полный оборот вокруг стержня; пусть показание \(F_2\). Так как \(mg/F_1=F_1/F_2\), то \(m=F_1^2/(F_2 g)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Погружая шприц глубже, вы сжимаете воздух в бутылке давлением столба жидкости; при постоянной температуре изменение объёма и разность уровней дают плотность через закон Бойля — Мариотта.

Ответ

\(\rho_v=\dfrac{p\,\Delta V}{V g\,\Delta h}\).

Решение

Соединим шприц и бутылку. Поместим конец шприца в жидкость, предварительно выдавив из бутылки несколько см\(^3\) воздуха. Перемещая шприц вверх и вниз, найдём положение, при котором уровень жидкости внутри шприца совпадает с уровнем жидкости в сосуде. В этом случае давление воздуха в бутылке равно внешнему давлению. Выполняется \[pV=\frac{m}{M}RT,\] где \(V\) — сумма объёмов шприца и бутылки. Если теперь погрузить шприц глубже в жидкость, то давление столба жидкости увеличивает давление воздуха в бутылке. Выполняется \[(V-\Delta V)(p+\Delta p)=\frac{m}{M}RT,\] если \(T=\text{const}\). Давление столба жидкости \[\Delta p=\rho_v g\Delta h,\] где \(\Delta h\) — разность уровней жидкости в шприце и в сосуде, которую мы измеряем линейкой по шкале шприца. \(\Delta V\) — изменение объёма системы «бутылка и шприц», которое мы можем прочесть по шкале объёма шприца. Объединяя три предыдущие формулы, получаем \[pV=(V-\Delta V)(p+\Delta p)\] \[pV=(V-\Delta V)(p+\rho_v g\Delta h)\] \[p\Delta V=(V-\Delta V)\rho_v g\Delta h.\] При малом \(\Delta V\) имеем \(V-\Delta V\approx V\). Для плотности жидкости получаем: \[\rho_v=\frac{p\,\Delta V}{V g\,\Delta h}.\] Установка очень чувствительна к колебаниям температуры. Чтобы избежать этого, бутылку закрепляют между лапками зажима, так как температура зажима такая же, как температура воздуха в комнате. Если держать бутылку рукой, воздух в бутылке нагревается. Например, если изменение температуры \(\Delta T=1\) К, то при постоянном давлении изменение объёма (при температуре 290 К) определяется из \[\frac{V+\Delta V}{V}=\frac{T+\Delta T}{T}\quad\Rightarrow\quad\Delta V\approx 1{,}85\text{ см}^3.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.