Неизвестный газ

При нагревании при постоянном давлении газ ещё и расширяется. Куда уходит лишнее тепло и как выразить эту работу через температуру?

Молярная масса \(M\approx32\cdot10^{-3}\) кг/моль — кислород.

Что происходит. При нагревании при постоянном объёме газ не совершает работы, и всё тепло идёт на увеличение внутренней энергии. При постоянном давлении газ ещё расширяется и совершает работу, поэтому тепла нужно больше. Разность теплоёмкостей — это работа расширения при нагревании на 1 К; её выражает уравнение состояния через молярную массу.

Обозначения. \(m=1\) кг — масса газа, \(c_p=912\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\) и \(c_V=649\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\) — удельные теплоёмкости, \(\Delta T=1\) К, \(M\) — молярная масса, \(R=8{,}31\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\).

1. Первое начало термодинамики для двух процессов (внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому при одинаковом \(\Delta T\) её изменение \(\Delta U\) одинаково): \[mc_V\Delta T=\Delta U,\qquad mc_p\Delta T=\Delta U+A .\]

2. Работа при постоянном давлении. Из уравнения Менделеева — Клапейрона \(pV=\dfrac mMRT\) при \(p=\text{const}\): \[A=p\Delta V=\frac mM\,R\,\Delta T .\]

3. Связь теплоёмкостей. Вычтем первое уравнение из второго и подставим \(A\): \[m\,(c_p-c_V)\Delta T=\frac mMR\Delta T\;\Rightarrow\;c_p-c_V=\frac RM .\]

4. Молярная масса. \[M=\frac{R}{c_p-c_V}=\frac{8{,}31}{912-649}\text{ кг/моль}\approx0{,}0316\text{ кг/моль}\approx32\text{ г/моль}.\] Такая молярная масса у кислорода \(\text{O}_2\).

Обратите внимание: теплоёмкости здесь удельные, на килограмм, а \(R\) — на моль, поэтому получается именно молярная масса.

Ответ. \(M=\dfrac{R}{c_p-c_V}\approx32\cdot10^{-3}\) кг/моль — кислород.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}}{\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}}=\dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}\). Второй способ: для двухатомного газа \(c_V=\dfrac{5}{2}\dfrac RM\); при \(M=0{,}032\) кг/моль \(c_V=\dfrac{2{,}5\cdot8{,}31}{0{,}032}\approx649\text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\) — совпадает с условием.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.