Мощность холодильника

В установившемся режиме холодильник отнимает у камеры столько тепла, сколько проникает внутрь. Минимальная работа — у идеальной машины, работающей по обратному циклу Карно.

\(P_{\min}=\dfrac{Q}{t}\cdot\dfrac{T_2-T_1}{T_1}\approx0{,}11\) Вт (при \(Q=7{,}6\cdot10^3\) Дж за час).

Что происходит. Холодильник — тепловая машина, работающая по обратному циклу: отнимает у холодной камеры тепло \(Q_1\) и отдаёт комнате \(Q_2=Q_1+A\), где \(A\) — работа, которую совершает мотор. В установившемся режиме температура внутри не меняется, значит, \(Q_1\) равно теплу \(Q\), проникающему через стенки. Работа минимальна у идеальной машины (цикл Карно), для которой \(\dfrac{Q_2}{T_2}=\dfrac{Q_1}{T_1}\).

Обозначения. \(T_1=278\) К, \(T_2=293\) К, \(t=1\text{ ч}=3600\) с, \(Q_1=Q\), \(A_{\min}\) — минимальная работа за время \(t\).

1. Работа идеальной машины. Из \(Q_2=Q_1\dfrac{T_2}{T_1}\) и \(A=Q_2-Q_1\) получаем \[A_{\min}=Q_1\Bigl(\frac{T_2}{T_1}-1\Bigr)=Q_1\,\frac{T_2-T_1}{T_1}.\]

2. Мощность. \[P_{\min}=\frac{A_{\min}}{t}=\frac{Q}{t}\cdot\frac{T_2-T_1}{T_1}=\frac{7600}{3600}\cdot\frac{15}{278}\text{ Вт}\approx0{,}11\text{ Вт}.\]

Обратите внимание: холодильник тратит работу не на «холод», а на перекачку тепла вверх по температуре, и затраты тем меньше, чем меньше разность \(T_2-T_1\). Реальные холодильники необратимы и потребляют значительно больше.

В решении книги записана формула \(P=\dfrac{Q_1}{t}\dfrac{T_1}{T_2-T_1}\) — это не работа, а отношение \(Q_1/A\) (холодильный коэффициент), в мощность оно входит обратным. Число 12 Вт в книге получается именно по верной формуле при \(Q_1\approx7{,}9\cdot10^5\) Дж за час; такой приток тепла (около \(200\) Вт) правдоподобнее для бытового холодильника, так что показатель степени в условии, вероятно, опечатка.

Ответ. \(P_{\min}=\dfrac{Q}{t}\cdot\dfrac{T_2-T_1}{T_1}\approx0{,}11\) Вт (для \(Q=7{,}6\cdot10^3\) Дж за час); при \(Q=7{,}9\cdot10^5\) Дж за час — около 12 Вт, как в книге.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{Дж}}{\text{с}}\). Предел \(T_2\to T_1\): \(P\to0\) — переносить тепло между равными температурами работы не требуется. Второй способ: холодильный коэффициент \(\dfrac{Q_1}{A}=\dfrac{T_1}{T_2-T_1}\approx18{,}5\), поэтому \(A=\dfrac{Q_1}{18{,}5}\) и \(P=\dfrac{2{,}11\text{ Вт}}{18{,}5}\approx0{,}11\) Вт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.