Кирпич падает на теннисный мяч

С какой скоростью кирпич отрывается от мяча? Что в этот момент делают верхняя и нижняя точки мяча, и какова скорость его центра?

Мяч подскакивает примерно на \(h/4\approx25\) см, где \(h=1\) м — высота подскока кирпича.

Что происходит. Кирпич сжимает мяч, мяч распрямляется и подбрасывает кирпич почти на прежнюю высоту — значит, кирпич тяжёл и отрывается от мяча со скоростью \(v=\sqrt{2gh}\). В этот момент нижняя точка мяча ещё стоит на полу (скорость нуль), верхняя точка движется вместе с кирпичом (скорость \(v\)). Центр мяча движется со средней скоростью \(v/2\), и дальше мяч летит свободно.

Допущения. Кирпич много тяжелее мяча: потери при подскоке малы, подскок почти на ту же высоту. Мяч деформируется однородно: скорость точек вдоль вертикального диаметра растёт линейно от \(0\) внизу до \(v\) вверху. Это оценка; колебания мяча после отрыва на движение его центра масс не влияют.

1. Скорость кирпича при отрыве. После отрыва кирпич движется свободно. Закон сохранения механической энергии кирпича от момента отрыва до верхней точки: \(\dfrac{Mv^2}{2}=Mgh\), откуда \(v=\sqrt{2gh}\) (\(M\) — масса кирпича, \(h\approx1\) м).

2. Скорость центра мяча. В момент отрыва кирпича верх мяча имеет скорость \(v\), низ — ноль. При линейном профиле скорость центра — среднее: \(v_{\text{ц}}=v/2\).

3. Подскок мяча. После отрыва на мяч действует только сила тяжести, поэтому по теореме о движении центра масс его центр летит вверх, как брошенная точка, с начальной скоростью \(v/2\) и ускорением \(g\) (внутренние колебания мяча на это не влияют): \[h_1=\frac{(v/2)^2}{2g}=\frac{v^2}{8g}=\frac h4\approx25\text{ см}.\]

Обратите внимание: мяч поднимается заметно ниже кирпича: его центр движется вдвое медленнее верхней точки, а высота подъёма зависит от квадрата скорости.

Ответ. \(h_1\approx h/4\approx25\) см.

Проверка. Размерность: \(v^2/g\) — длина. Согласованность допущения о тяжёлом кирпиче: энергия мяча \(\dfrac{m}{2}\cdot\dfrac{v^2}{4}\) много меньше энергии кирпича \(\dfrac{Mv^2}{2}\), когда \(m\ll M\): мяч почти не отбирает энергию у кирпича.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.