Два двигателя на одной оси

Двигатель постоянного тока: ЭДС индукции пропорциональна угловой скорости, а момент — току. Найдите оба коэффициента из двух данных режимов (без нагрузки и заторможенный якорь).

\(M=\dfrac{2\mathcal{E}I_0\,\omega}{\omega_0^2}\).

Что происходит. Якорь в поле постоянного магнита: при вращении в нём возникает ЭДС индукции, пропорциональная \(\omega\), и она направлена против ЭДС источника. Момент, который двигатель развивает, пропорционален току в якоре. Если ток у одного двигателя течёт в одну сторону, а у другого ЭДС источника переключена, то моменты противоположны, и внешний момент должен компенсировать их разность.

Обозначения. \(R\) — сопротивление обмотки якоря; ЭДС индукции \(\mathcal{E}_{\text{и}}=k\omega\); момент двигателя \(M_{\text{дв}}=kI\); \(I_1\) и \(I_2\) — токи в двигателях 1 и 2 (их модули); \(M\) — искомый внешний момент.

1. Постоянные двигателя. Заторможенный якорь (\(\omega=0\), ЭДС индукции нет): по закону Ома \(I_0=\dfrac{\mathcal{E}}{R}\), откуда \(R=\dfrac{\mathcal{E}}{I_0}\). Без нагрузки и трения механическая мощность равна нулю, значит, ток равен нулю: ЭДС индукции равна ЭДС источника, \(k\omega_0=\mathcal{E}\), откуда \(k=\dfrac{\mathcal{E}}{\omega_0}\).

2. Момент двигателя. Мощность, переходящая в механическую, равна \(\mathcal{E}_{\text{и}}I=k\omega I\) и равна \(M_{\text{дв}}\,\omega\); значит, \(M_{\text{дв}}=kI\).

3. Токи при вращении с \(\omega\). Двигатель 1 включён как прежде: ЭДС индукции вычитается из ЭДС источника: \[I_1=\frac{\mathcal{E}-k\omega}{R}=I_0\Bigl(1-\frac\omega{\omega_0}\Bigr).\] В двигателе 2 источник включён наоборот, и ЭДС индукции складывается с ЭДС источника в ту же сторону тока: \[I_2=\frac{\mathcal{E}+k\omega}{R}=I_0\Bigl(1+\frac\omega{\omega_0}\Bigr).\] Двигатель 1 вращает якорь в сторону \(\omega\) с моментом \(kI_1\), двигатель 2 тормозит с моментом \(kI_2\).

4. Баланс моментов при постоянной \(\omega\). Угловое ускорение равно нулю, сумма моментов на соединённых якорях равна нулю: внешний момент \(M\) направлен как \(\omega\) и \[M+kI_1-kI_2=0\;\Rightarrow\;M=k\,(I_2-I_1)=k\cdot2I_0\frac{\omega}{\omega_0}=\frac{2\mathcal{E}I_0\,\omega}{\omega_0^2}.\]

Обратите внимание: ЭДС источника в двигателе 2 не ограничивает ток, а помогает ему: ток \(I_2\) растёт с \(\omega\), а \(I_1\) падает. Поэтому момент линейно растёт с \(\omega\).

Ответ. \(M=\dfrac{2\mathcal{E}I_0\,\omega}{\omega_0^2}\).

Проверка. Размерность: \(\mathcal{E}I_0\) — мощность, делённая на \(\omega\) — момент. Энергия при \(\omega=\omega_0/2\) (для \(\mathcal{E}=I_0=\omega_0=1\)): \(I_1=0{,}5\), \(I_2=1{,}5\), \(M=1\); мощность источников \(\mathcal{E}(I_1+I_2)=2\) плюс мощность внешнего момента \(M\omega=0{,}5\) равны тепловым потерям \(I_1^2R+I_2^2R=0{,}25+2{,}25=2{,}5\) — верно. Пределы: при \(\omega=0\) моменты равны и противоположны, \(M=0\); при \(\omega=\omega_0\) ток \(I_1=0\), и \(M=2kI_0\) — тормозит только двигатель 2.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.