Велосипед с мальчиком и с верёвкой

В обоих случаях к нижней педали приложена одна и та же сила \(F\) вперёд. Чем отличаются силы на раму? Найдите момент сил на заднее колесо относительно точки его касания с полом.

С верёвкой — вперёд (для обычных размеров), с мальчиком — назад: вторая сила \(F\) приложена к седлу.

Что происходит. Сила \(F\) на нижней педали вперёд создаёт через цепь натяжение \(T\), которое тянет заднюю звёздочку вперёд. Куда покатится заднее колесо, решает суммарный момент приложенных к нему сил относительно точки касания с полом. В первом случае, кроме \(F\) на педали, внешних сил нет; во втором к раме у седла добавляется сила \(F\), направленная назад: мальчик отталкивается от седла, когда давит на педаль вперёд.

Обозначения. \(F\) — сила на педали вперёд, \(r\) — длина шатуна, \(r_0\) и \(r_{\text{з}}\) — радиусы передней и задней звёздочек, \(R\) — радиус заднего колеса, \(T\) — натяжение нижней ветви цепи, \(O\) — точка касания заднего колеса с полом. Раму считаем невесомой.

1. Передний узел. Правило моментов относительно оси каретки: \(Fr=Tr_0\), откуда \(T=\dfrac{r}{r_0}F\). Натянута нижняя ветвь цепи, верхняя провисает. Узел давит на раму назад с силой \(T-F\) (сумма горизонтальных сил на узел равна нулю: \(F\) вперёд, \(T\) назад, реакция рамы \(T-F\) вперёд).

2. Верёвка. Рама в равновесии: на неё действуют сила \(T-F\) назад со стороны узла и сила со стороны оси колеса, равная \(T-F\) вперёд. Значит, на ось заднего колеса рама действует силой \(T-F\) назад на высоте \(R\). Момент сил на колесо относительно \(O\) (вперёд положительно): \[M_O=T(R-r_{\text{з}})-(T-F)R=F\Bigl(R-\frac{r\,r_{\text{з}}}{r_0}\Bigr)>0\] для обычных размеров (\(R\approx35\) см, \(r\approx17\) см, \(r_{\text{з}}/r_0\approx0{,}5\)). Колесо вращается вперёд: велосипед едет вперёд.

3. Мальчик. Он давит на педаль вперёд силой \(F\), значит, педаль давит на него назад, и сиденье должно давить на него вперёд с той же силой \(F\) (в горизонтальном равновесии мальчика). Мальчик давит на седло назад силой \(F\). Теперь на раму действуют ещё \(F\) назад от седла, и сила, с которой рама действует на ось, равна \((T-F)+F=T\) назад. Момент на заднее колесо относительно \(O\): \[M_O=T(R-r_{\text{з}})-TR=-T\,r_{\text{з}}<0 .\] Он отрицателен при любых размерах: колесо вращается назад, велосипед едет назад.

Обратите внимание: сила на педали в обоих случаях одна и та же, а результат противоположный. Всё решает сила от седла: она передаётся раме и в итоге добавляется к силе на ось колеса.

Ответ. С верёвкой — вперёд; с мальчиком — назад.

Проверка. Предел \(r_{\text{з}}\to0\): для мальчика \(M_O\to0\) — цепь действует на ось, и велосипед не движется; для верёвки \(M_O=FR>0\). Размерность: \(F\,R\) — момент силы.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.