Изображение Солнца и рассеивающая линза

Для рассеивающей линзы изображение Солнца в фокальной плоскости объектива — мнимый предмет. Как расположить линзу, чтобы действительное изображение выросло втрое?

Можно. Линзу нужно поставить на \(\frac23\) м перед фокальной плоскостью объектива; новое изображение окажется на 2 м за линзой (на \(\frac43\) м дальше прежнего). Для этого фокусное расстояние объектива должно быть больше \(\frac23\) м.

Что происходит. Объектив собирает параллельный пучок от Солнца в точку (изображение \(AB\)) своей фокальной плоскости. Рассеивающая линза, поставленная в этот сходящийся пучок до фокальной плоскости, делает его менее сходящимся: лучи сойдутся дальше и изображение станет крупнее. Для линзы \(AB\) — мнимый предмет, как в задаче про оптическую систему и рассеивающую линзу.

Обозначения. \(O\) — центр рассеивающей линзы, \(F\) — её фокус по ходу света, \(f=\dfrac{1}{1\text{ дптр}}=1\) м, \(a=OA\) — расстояние от линзы до прежнего изображения (на фокальной плоскости объектива), \(b=OA'\) — до нового изображения, \(\Gamma=A'B'/AB=3\).

1. Два луча. Луч, идущий к точке \(B\) через центр линзы, не преломляется. Луч, идущий к фокусу \(F\), после рассеивающей линзы идёт параллельно главной оптической оси. Оба продолжены пунктиром до встречи в мнимом предмете \(AB\).

2. Построение. На линзе выберем точку на высоте \(3\,AB\). Луч, выходящий из неё параллельно оси, должен пройти в новом изображении через \(B'\). Входящий в эту точку луч идёт к \(F\) и пересекает вертикаль \(AB\) на высоте \(AB\): из подобия \(\dfrac{AB}{3AB}=\dfrac{f-a}{f}\), откуда \(a=\dfrac23f=\dfrac23\) м.

3. Расчёт. Формула линзы для мнимого предмета: \(\dfrac1b=\dfrac1a-\dfrac1f=\dfrac32-1=\dfrac12\text{ м}^{-1}\), \(b=2\) м, \(\Gamma=\dfrac ba=3\).

4. Условие осуществимости. Линзу нужно поставить на расстоянии \(a=\frac23\) м перед фокальной плоскостью объектива, то есть фокусное расстояние объектива должно быть не меньше \(\frac23\) м (иначе линзу негде поставить между объективом и его фокальной плоскостью).

Обратите внимание: линза стоит до изображения (\(a<f\)); при \(a>f\) рассеивающее действие линзы сильнее сходимости пучка, лучи не соберутся, и изображение будет мнимым.

Ответ. Да: линза на \(\frac23\) м перед фокальной плоскостью; новое изображение Солнца — на 2 м за линзой, на \(\frac43\) м дальше прежнего, в 3 раза больше.

Проверка. Предел \(a\to0\): линза у самого изображения его не меняет, \(\Gamma\to1\); \(\Gamma=\dfrac{1}{1-a/f}\) растёт монотонно, значение 3 достигается один раз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.