Брёвна

Два уравнения, которые необходимы для нахождения двух неизвестных (плотности \(\rho\) и отношения \(k = r_1/r_2\)), можно получить из условия плавания и равенства нулю суммы моментов сил, действующих на конструкцию.

Пусть \(L\) — длина всех составляющих конструкции, \(g\) — ускорение свободного падения, тогда по закону Архимеда можно записать \[\rho\,\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{r_1 + r_2}{2}\right)^2Lg = \rho_0\left(\dfrac{\pi r_1^2}{4} + \dfrac{\pi r_2^2}{4}\right)Lg,\] откуда \[\rho(r_1 + r_2)^2 = 2\rho_0(r_1^2 + r_2^2).\qquad (135)\] Рассмотрим момент сил, действующих на конструкцию, относительно точки \(O\) соединения всех составляющих (рис. 109). В каждой точке поверхностей \(AB\) и \(CD\) сила давления воды направлена вдоль радиуса, то есть не создаёт момента относительно точки \(O\). Суммарный момент сил будет складываться из момента \(M_1\) силы давления воды на прямоугольный участок \(BC\), момента \(M_2\) силы тяжести и момента \(M_3\) силы давления атмосферы на верхнюю половинку бревна. Положительным будем считать момент, поворачивающий конструкцию по часовой стрелке.

Введём направленную вниз вертикальную ось \(x\), ноль которой находится на уровне воды в водоёме, и пусть \(P_0\) — атмосферное давление, тогда найдём момент сил давления воды: \[M_1 = \int\limits_{r_2}^{r_1}(P_0 + \rho_0gx)Lx\,dx = \dfrac12\,P_0L(r_1^2 - r_2^2) + \dfrac13\,\rho_0gL(r_1^3 - r_2^3).\] Нам неизвестна точка приложения силы тяжести, но из соображений симметрии ясно, что она находится на одной вертикали с центром верхней половинки бревна. Поэтому плечо силы тяжести составляет \(l = r_1 - (r_1 + r_2)/2 = (r_1 - r_2)/2\), а её момент, преобразованный с учётом условия (135), составляет \[M_2 = -\rho\,\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{r_1 + r_2}{2}\right)^2Lg\cdot\dfrac{r_1 - r_2}{2} = -\dfrac{\pi}{8}\,\rho_0gL(r_1^2 + r_2^2)(r_1 - r_2).\] Плечо силы атмосферного давления также равно \(l\), поэтому можем найти её момент: \[M_3 = -P_0(r_1 + r_2)L\cdot\dfrac{r_1 - r_2}{2} = \dfrac12\,P_0L(r_2^2 - r_1^2).\] Из условия равновесия \(M_1 + M_2 + M_3 = 0\) следует, что \[\dfrac13\,\rho_0gL(r_1^3 - r_2^3) - \dfrac{\pi}{8}\,\rho_0gL(r_1^2 + r_2^2)(r_1 - r_2) = 0,\] откуда после деления на \(r_1 - r_2 \neq 0\) получаем \[r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2 - \dfrac{3\pi}{8}(r_1^2 + r_2^2) = 0,\qquad k^2 - \dfrac{1}{3\pi/8 - 1}\,k + 1 = 0.\] Согласно теореме Виета произведение корней этого уравнения равно единице. Поскольку \(r_1 > r_2\), следует выбрать корень, который больше единицы: \[k = \dfrac12\left(\dfrac{1}{3\pi/8 - 1} + \sqrt{\dfrac{1}{(3\pi/8 - 1)^2} - 4}\right) \approx 5{,}43.\] Второй корень соответствует симметричному случаю, когда \(r_1 < r_2\).

Из условия (135) находим плотность половинки бревна: \[\rho = 2\rho_0\dfrac{r_1^2 + r_2^2}{(r_1 + r_2)^2} = 2\rho_0\dfrac{k^2 + 1}{(k + 1)^2} \approx 1475\text{ кг/м}^3.\]