В бесконечную однородную жидкую среду плотностью \(\rho_0\) поместили шарик массой \(m_1\) и плотностью \(\rho_1\). Затем на расстоянии \(r \gg a\) (\(a\) — радиус шарика) поместили такой же по объёму шарик массой \(m_2\) и плотностью \(\rho_2\). Найдите появившуюся в результате этого силу, действующую на шарик \(m_1\). Рассмотрите случаи: 1) \(\rho_1 > \rho_0\), \(\rho_2 > \rho_0\); 2) \(\rho_1 > \rho_0\), \(\rho_2 < \rho_0\); 3) \(\rho_1 < \rho_0\), \(\rho_2 < \rho_0\).

\(F = G\dfrac{(m_1 - m_0)(m_2 - m_0)}{r^2}\), где \(m_0 = \dfrac{4}{3}\pi a^3\rho_0\) — масса жидкости в объёме шарика; в первом и третьем случаях шарики притягиваются, во втором — отталкиваются.

Шарики в жидкости — ВсОШ 1997/98, 10 кл., задача 1

Шарики в жидкости
ВсОШ 1997/98, 10 кл.
6/10
В бесконечную однородную жидкую среду плотностью \(\rho_0\) поместили шарик массой \(m_1\) и плотностью \(\rho_1\). Затем на расстоянии \(r \gg a\) (\(a\) — радиус шарика) поместили такой же по объёму шарик массой \(m_2\) и плотностью \(\rho_2\). Найдите появившуюся в результате этого силу, действующую на шарик \(m_1\). Рассмотрите случаи: 1) \(\rho_1 > \rho_0\), \(\rho_2 > \rho_0\); 2) \(\rho_1 > \rho_0\), \(\rho_2 < \rho_0\); 3) \(\rho_1 < \rho_0\), \(\rho_2 < \rho_0\).
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ
\(F = G\dfrac{(m_1 - m_0)(m_2 - m_0)}{r^2}\), где \(m_0 = \dfrac{4}{3}\pi a^3\rho_0\) — масса жидкости в объёме шарика; в первом и третьем случаях шарики притягиваются, во втором — отталкиваются.
Решение
При помещении шарика \(m_1\) в жидкую среду возникает неравномерное распределение давления в жидкости (сферически симметричное с максимумом на поверхности шарика). Выделим объём \(V = \dfrac{4}{3}\pi a^3\) в той точке, куда затем мы поместим шарик. Так как этот объём массой \(m_0\) находится в равновесии, то сила гравитационного притяжения должна уравновешиваться силой давления: \(F_{\text{д}} = G\dfrac{(m_1 - m_0)m_0}{r^2}\). Эта сила направлена от шарика \(m_1\). При помещении в эту точку шарика \(m_2\) сила \(F_{\text{д}}\) не изменится, а сила гравитационного притяжения станет равной \(F_{\text{г}} = G\dfrac{(m_1 - m_0)m_2}{r^2}\) и будет направлена к шарику \(m_1\). Поэтому равнодействующая этих сил, направленных к шарику \(m_1\), будет равна \(F_2 = F_{\text{г}} - F_{\text{д}} = G\dfrac{(m_1 - m_0)(m_2 - m_0)}{r^2}\). По третьему закону Ньютона \(\vec F_1 = -\vec F_2\).

В первом и третьем случаях шарики притягиваются, во втором — отталкиваются.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Шарики в жидкости

Шарики в жидкости

Похожие задачи