Разлёт шариков после удара

Запишем закон сохранения импульса для сталкивающихся частиц: \[\vec v_1 + \vec v_2 = \vec v_1' + \vec v_2'.\] Возведя это уравнение в квадрат и учитывая закон сохранения энергии, получим \[(\vec v_1, \vec v_2) = (\vec v_1', \vec v_2')\quad\text{или}\quad v_1v_2\cos\alpha = v_1'v_2'\cos\beta.\] Отсюда \(\cos\beta = \dfrac{v_1v_2}{v_1'v_2'}\cos\alpha\). Угол \(\beta\) будет максимальным, когда произведение \(v_1'v_2'\) максимально. Из закона сохранения энергии следует \[v_1'^2 + v_2'^2 = \text{const}.\] Изобразим эту функцию на рисунке.

Из всех прямоугольников с заданным периметром максимальной площадью обладает квадрат. Следовательно, произведение \(v_1'v_2'\) максимально при \(v_1' = v_2'\). Отсюда \[\beta_{\max} = \arccos\left(\dfrac{2v_1v_2}{v_1^2 + v_2^2}\cos\alpha\right).\]