Грелка в аквариуме

По мере всплытия пузырька вода опускается, занимая тот объём, который пузырёк вытеснял в предыдущий момент времени. Уменьшение потенциальной энергии воды сопровождается равным увеличением её кинетической энергии, которая в свою очередь за счёт внутреннего трения (вязкости) переходит в тепловую энергию, тем самым повышая температуру воды.

Когда пузырёк радиусом \(r\) всплывает с глубины \(h\) на поверхность, вода объёмом \(V = 4\pi r^3/3\) и массой \(m = V\rho\) опускается на глубину \(h\). При этом её потенциальная энергия уменьшается на \(\Delta E = mgh\) и выделяется теплота \[Q_1 = \Delta E = \dfrac{4\pi}{3}\,r^3\rho gh.\] Поскольку грелка плоская и отверстия покрывают её равномерно, можно считать, что все пузырьки отрываются от грелки в её центре масс, который совпадает с точкой пересечения медиан треугольника и расположен на глубине \(h = \dfrac13(h_1 + h_2 + h_3)\).

За искомое время \(t\) грелку покинет \(n = Nt/\tau\) пузырьков и выделится теплота \[Q_n = nQ_1 = \dfrac{4\pi}{9}\,r^3\rho g(h_1 + h_2 + h_3)N\dfrac{t}{\tau},\] которая приведёт к требуемому повышению температуры: \[Q_n = cM\Delta T.\] Приравнивая выражения для \(Q_n\), находим \[t = \dfrac{9cM\Delta T\tau}{4\pi r^3\rho g(h_1 + h_2 + h_3)N} = 6{,}7\cdot10^6\text{ с} \approx 77\text{ сут}.\]