Цилиндр с теплопроводящим поршнем

Применим первое начало термодинамики ко всей системе: \[q\tau = \Delta U = C_V(T_1 - T_0) + C_V(T_2 - T_0) = \dfrac{3}{2}R(T_2 + T_1 - 2T_0).\qquad(1)\] (В уравнении учтено, что для одноатомного газа молярная теплоёмкость при постоянном объёме равна \(C_V = \dfrac{3}{2}R\).)

Запишем условие стационарности системы: \[p_1 = p_2 = p_{\text{кон}},\ q = q_{12} = \alpha(T_1 - T_2).\qquad(2)\] В обоих уравнениях \(T_1\) и \(T_2\) — установившиеся температуры газа в нагреваемой и охлаждающей частях цилиндра соответственно. Решая совместно уравнения (1) и (2), находим \(T_1\) и \(T_2\): \[T_1 = \dfrac{1}{3}\dfrac{q\tau}{R} + T_0 + \dfrac{q}{2\alpha},\qquad(3)\] \[T_2 = \dfrac{1}{3}\dfrac{q\tau}{R} + T_0 - \dfrac{q}{2\alpha}.\qquad(4)\] Используя уравнения состояния для обеих частей цилиндра в стационарном состоянии \(p_{\text{к}}(V_0 + \Delta V) = RT_1\), \(p_{\text{к}}(V_0 - \Delta V) = RT_2\), получаем \[n = \dfrac{V_0 + \Delta V}{V_0 - \Delta V} = \dfrac{T_1}{T_2}.\qquad(5)\] Подставляя в (5) значения \(T_1\) и \(T_2\) из (3) и (4), находим коэффициент теплопроводности при \(n = 2\): \[\alpha = \dfrac{9qR}{2(q\tau + 3RT_0)}.\]