Полубесконечная цепь из батареек
7/10Из одинаковых батареек, ЭДС каждой из которых \(\mathcal{E}\), внутреннее сопротивление \(r\), а сопротивление резисторов \(R\), собрана «полубесконечная» цепь (число звеньев \(n \to \infty\)), изображённая на рис. 30.10. Что будет показывать идеальный амперметр, подключённый к клеммам \(AB\)?
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ\(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_x} = \dfrac{\mathcal{E}}{2r}\left(\sqrt{1 + \dfrac{4r}{R}} - 1\right)\).
РешениеИзобразим схему, как показано на рис. 96. Потенциалы точек \(M_1\), \(M_2\), … одинаковы, т. е. мы можем соединить их, не изменяя показаний амперметра. Теперь задача сводится к вычислению сопротивления цепочки резисторов. Обозначив его как \(R_x\), получаем уравнение
\[\dfrac{R_xr}{R_x + r} + R = R_x.\] Здесь учтено, что подключение ещё одного звена не должно изменять сопротивления цепочки. Решение уравнения \[R_x = \dfrac{R + \sqrt{R^2 + 4rR}}{2}.\] Искомый ответ \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_x} = \dfrac{\mathcal{E}}{2r}\left(\sqrt{1 + \dfrac{4r}{R}} - 1\right).\]
Похожие задачи
- Стартер и лампочка ВсОШ 1993/94, 10 кл.
- Чёрный ящик с резисторами МОШ 2003/04, 10 кл.
- Батарейки «Туймаада» 2004/05, 11 кл.
- Неизвестная цепь «Туймаада» 2010/11, 11 кл.
- Три резистора Интернет-олимпиада 2012/13, 10 кл.
- Батарейка, резисторы и миллиамперметр Интернет-олимпиада 2012/13, 11 кл.