Задачи › Наклонная плоскость

Склеенный куб на наклонной плоскости

  1. Склеенный куб на наклонной плоскости

    ВсОШ 1995/96, 10 кл.
    7/10

    Куб, склеенный из двух одинаковых по объёму частей, кладут на наклонную плоскость таким образом, что плоскость склейки, параллельная одной из граней куба, перпендикулярна наклонной плоскости (рис. 29.10). Начнёт ли двигаться куб? Если да, то каким будет его движение в начальный момент? Отношение плотностей материалов, из которых сделан куб, равно 20. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\), коэффициент трения между наклонной плоскостью и нижней гранью куба \(\mu = 0{,}8\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    Куб соскальзывать не будет. Если \(\dfrac{\rho_2}{\rho_1} = 20\), то \(x = \dfrac{61}{84}l\), положение равновесия устойчиво; если \(\dfrac{\rho_2}{\rho_1} = \dfrac{1}{20}\), то \(x = \dfrac{23}{84}l\), момент силы тяжести направлен по часовой стрелке и куб начнёт кувыркаться.

    Решение

    Так как \[F_{\text{тр}} = \mu mg\cos\alpha > mg\sin\alpha,\] куб соскальзывать не будет. Рассмотрим уравнение моментов относительно полюса \(A\) (рис. 94). Центр масс \(C\) находится на расстоянии \(x\) от передней грани, равном \[x = \dfrac{3 + \rho_1/\rho_2}{4\cdot(1 + \rho_1/\rho_2)},\] где \(\rho_1\) — плотность правой половины.

    Рисунок

    Если \[\dfrac{\rho_2}{\rho_1} = 20,\ \text{то}\ x = \dfrac{61}{84}l.\] Следовательно, момент силы тяжести направлен против часовой стрелки и положение равновесия устойчиво.

    Если \[\dfrac{\rho_2}{\rho_1} = \dfrac{1}{20},\ \text{то}\ x = \dfrac{23}{84}l,\] момент силы тяжести направлен по часовой стрелке, и брусок начнёт кувыркаться.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх