Давление света на зеркальный шар

Сравните, на сколько меняется проекция импульса фотона на направление пучка при зеркальном отражении и при поглощении, в зависимости от угла падения. Где какой вариант «выгоднее»?

Рассматривая свет как поток частиц (фотонов), запишем для силы светового давления на шар: \[\vec F = -\frac{\Delta \vec P}{\Delta t},\] где \(\Delta \vec P\) — изменение импульса фотонов за время \(\Delta t\) в результате их отражения или поглощения поверхностью шара.

При зеркальном отражении фотона, падающего на шар под углом падения \(\alpha\) (см. рис.), проекция его импульса на ось \(X\) (которая совпадает с направлением падающего пучка) изменяется на величину: \[\Delta p_x = -p\cos(2\alpha) - p ,\] где \(p\) — импульс фотона в падающем пучке. Если же фотон поглощается поверхностью шара, то изменение его импульса равно \(\Delta p_x = -p\).

Сравнивая эти два случая, видим, что при \(\alpha < \pi/4\) изменение проекции импульса \(|\Delta p_x|\) больше при зеркальном отражении, а при \(\alpha > \pi/4\) сильнее изменяется проекция импульса при поглощении фотона. Поэтому для получения максимальной силы давления фотоны, падающие под углами \(\alpha < \pi/4\), «выгоднее» отразить, а фотоны с большими углами падения — поглотить.

Действительно, пусть передняя поверхность шара в пределах углов падения от \(0\) до \(\alpha_0 = \pi/4\) зеркальная, а остальная поверхность закрашена. Мысленно увеличим граничный угол \(\alpha_0\) на малую величину \(\Delta\alpha\), сдвинув границу окрашивания. В результате этого узкая полоска поверхности шара «превратится» из окрашенной в зеркальную. Пусть на эту полоску в единицу времени падает \(N\) фотонов. Тогда из-за сдвига границы проекция на ось \(X\) импульса, передаваемого шару отражёнными фотонами, возрастёт на \[(\delta p_x)_\text{отр} = N[p + p\cos(2(\alpha_0 + \Delta\alpha))] = N\left[p + p\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\Delta\alpha\right)\right] = N[p - p\sin(2\Delta\alpha)],\] а проекция на ось \(X\) импульса, передаваемого шару поглощёнными фотонами, уменьшится на \((\delta p_x)_\text{погл} = Np\). Итоговое изменение проекции на ось \(X\) импульса, передаваемого шару фотонами, изменится на \(\delta p_x = (\delta p_x)_\text{отр} - (\delta p_x)_\text{погл} = -Np\sin(2\Delta\alpha)\), то есть уменьшится. Значит, уменьшится и сила светового давления на шар. Если же мысленно уменьшить граничный угол \(\alpha_0\) на малую величину \(\Delta\alpha\), сдвинув границу окрашивания в другую сторону, то проекция на ось \(X\) импульса, передаваемого шару поглощёнными фотонами, увеличится на \((\delta p_x)_\text{погл} = Np\), а проекция на ось \(X\) импульса, передаваемого шару отражёнными фотонами, уменьшится на \[(\delta p_x)_\text{отр} = N[p + p\cos(2(\alpha_0 - \Delta\alpha))] = N\left[p + p\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\Delta\alpha\right)\right] = N[p + p\sin(2\Delta\alpha)].\] Итоговое изменение проекции на ось \(X\) импульса, передаваемого шару фотонами, изменится на \(\delta p_x = (\delta p_x)_\text{погл} - (\delta p_x)_\text{отр} = -Np\sin(2\Delta\alpha)\), то есть опять уменьшится. Значит, и в этом случае сила светового давления на шар уменьшится. Таким образом, сила светового давления при \(\alpha = \alpha_0 = \pi/4\) действительно является максимальной.

Итак, заднюю (теневую) поверхность шара можно «красить» как угодно, это не влияет на силу давления, а освещённую поверхность следует оставить зеркальной в пределах центрального шарового сегмента высотой \[h = R\left(1 - \cos\frac{\pi}{4}\right) = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt 2}\right) \approx 0{,}3R .\]