Лазерное охлаждение атомов

Сила от пучка пропорциональна скорости возбуждения \(\gamma_p\) при доплеровски сдвинутой частоте, поэтому слабая разность двух лоренцевых «горбов» даёт трение при отрицательной расстройке. Установившуюся температуру определяет баланс: нагрев от случайных толчков при поглощении и излучении равен охлаждению трением.

а) \(\omega_a=\omega\,(1+v_x/c)\);  b) \(F(v_x)=-\dfrac{\hbar\omega_0}{c}\dfrac{s_0\gamma}{2}\left[\dfrac1{1+4(\delta+\omega_0v_x/c)^2/\gamma^2}-\dfrac1{1+4(\delta-\omega_0v_x/c)^2/\gamma^2}\right]\), \(\beta=-\dfrac{8\hbar\omega_0^2\,\delta\,s_0}{\gamma c^2(1+4\delta^2/\gamma^2)^2}\), скорость убывает при \(\delta<0\);  c) \(T_Q\approx\dfrac{\hbar^2n^{2/3}}{k_Bm}\approx5\cdot10^{-7}\) К (\(\sim10^{-6}\) К);  d) \((\Delta p)^2=\hbar^2\omega_0^2/c^2\approx1{,}2\cdot10^{-54}\) кг\(^2\)м\(^2\)/с\(^2\);  e) \(x=2|\delta|/\gamma\);  f) \(T_{\min}=\hbar\gamma/(2k_B)\approx2{,}3\cdot10^{-4}\) К при \(\delta=-\gamma/2\).

Что происходит. Атом поглощает фотон лазера и получает импульс \(\hbar\omega_0/c\) вдоль пучка; испускает фотон в случайном направлении, так что в среднем излучение импульса не даёт. Скорость поглощения резко зависит от частоты в системе атома, а из-за эффекта Доплера атом, летящий навстречу одному из пучков, видит его частоту выше, а второго — ниже. Если лазеры настроены чуть ниже резонанса (\(\delta<0\)), навстречу летящий пучок оказывается ближе к резонансу, и атом поглощает его фотоны чаще, чем попутного: сила направлена против скорости — получается вязкое трение («оптическая патока»). Остановиться совсем атом не может: каждый акт поглощения и излучения даёт случайный толчок отдачи. Предельная температура определяется балансом нагрева толчками и охлаждения трением.

Обозначения. \(v_x\) — проекция скорости атома на ось \(x\); \(\delta=\omega-\omega_0\); \(p_\gamma=\hbar\omega/c\approx\hbar\omega_0/c\) — импульс фотона (\(\omega\approx\omega_0\)); \(\gamma_p(\omega_a)\) — скорость возбуждения из условия. При вычислении сил пользуемся малостью \(v/c\) и \(\delta/\omega_0\). В оригинале условия разность энергий записана как \(E_g-E_e=\hbar\omega_0\) — это опечатка: возбуждённый уровень выше основного (рис. 1), поэтому в переводе \(E_e-E_g=\hbar\omega_0\).

а) Атом движется по \(+x\), пучок — по \(-x\): встречное движение, частота в системе атома по классическому эффекту Доплера (при \(v\ll c\)) \[\omega_a=\omega\left(1+\frac{v_x}{c}\right).\] Для попутного пучка (вдоль \(+x\)) \(\omega_a=\omega(1-v_x/c)\) (рис. 2).

Рис. 2. Атом движется вдоль \(+x\) со скоростью \(v_x\) между двумя пучками: пучок вдоль \(-x\) (идёт навстречу) в системе атома имеет частоту \(\omega(1+v_x/c)\), пучок вдоль \(+x\) (попутный) — \(\omega(1-v_x/c)\).

b) При каждом поглощении атом получает импульс \(\hbar\omega_0/c\) в направлении распространения пучка. Спонтанно испущенный фотон улетает в случайном направлении, и после усреднения по направлениям его вклад в силу равен нулю. Импульс фотона много меньше импульса атома (по условию), так что за один акт скорость атома почти не меняется. Поэтому средняя сила от пучка равна числу актов поглощения в единицу времени \(\gamma_p(\omega_a)\), умноженному на \(\hbar\omega_0/c\).

Пучок вдоль \(-x\) действует в отрицательном направлении, и в системе атома его частота \(\omega(1+v_x/c)\), то есть \(\omega_a-\omega_0=\delta+\omega_0v_x/c\) (в первом порядке \(\omega v_x/c\approx\omega_0v_x/c\)). Пучок вдоль \(+x\) действует в положительном направлении, \(\omega_a-\omega_0=\delta-\omega_0v_x/c\). Суммарная сила \[F(v_x)=F_++F_-=-\frac{\hbar\omega_0}{c}\,\frac{s_0\gamma}{2}\left[\frac1{1+4(\delta+\omega_0v_x/c)^2/\gamma^2}-\frac1{1+4(\delta-\omega_0v_x/c)^2/\gamma^2}\right].\] На рис. 3 показаны \(F_+\), \(F_-\) и их сумма для \(\delta=-\gamma/2\) (по оси абсцисс \(w=\omega_0v_x/(c\gamma)\)): сумма близка к прямой вблизи \(v_x=0\).

Рис. 3. Силы от двух пучков и их сумма при \(\delta=-\gamma/2\) (в единицах \(\hbar\omega_0s_0\gamma/(2c)\)). Оранжевая прямая — линейное приближение \(-\beta v\) вблизи нуля.

Линеаризуем при малой скорости. Обозначим \(u=\omega_0v_x/c\) и \(g(u)=\bigl[1+4(\delta+u)^2/\gamma^2\bigr]^{-1}\). Тогда \(g(u)-g(-u)\approx2u\,g'(0)\), где \[g'(0)=-\frac{8\delta/\gamma^2}{\left(1+4\delta^2/\gamma^2\right)^2}.\] Отсюда \[F(v_x)\approx-\frac{\hbar\omega_0}{c}\frac{s_0\gamma}{2}\cdot2\,\frac{\omega_0v_x}{c}\cdot\left(-\frac{8\delta/\gamma^2}{(1+4\delta^2/\gamma^2)^2}\right)=\frac{8\hbar\omega_0^2s_0\,\delta}{\gamma c^2(1+4\delta^2/\gamma^2)^2}\,v_x ,\] то есть \(F=-\beta v_x\) с \[\beta=-\frac{8\hbar\omega_0^2\,\delta\,s_0}{\gamma c^2\left(1+4\delta^2/\gamma^2\right)^2}.\] Знак: \(\beta>0\) (сила против скорости, модуль скорости убывает) при \(\delta<0\) — частота лазера ниже резонансной (рис. 4). При \(\delta>0\) было бы \(\beta<0\) — нагрев.

Рис. 4. Коэффициент трения \(\beta\) как функция \(\delta/\gamma\) в единицах \(8\hbar\omega_0^2s_0/(\gamma c^2)\): торможение при \(\delta<0\) с максимумом при \(\delta=-\gamma/(2\sqrt3)\), нагрев при \(\delta>0\).

Проверка: при \(\delta=0\) получаем \(\beta=0\) — движущийся атом одинаково уходит от резонанса для обоих пучков, и в первом порядке по \(v_x\) их силы уравновешены; при \(|\delta|\gg\gamma\) \(\beta\to0\) — пучки далеко от резонанса.

c) Классическое описание атомов как точечных частиц годится, пока длина волны де Бройля атома много меньше среднего расстояния между атомами \(n^{-1/3}\). Длина волны де Бройля при температуре \(T\): \(\lambda_B\sim\hbar/\sqrt{mk_BT}\). Приравняем её к \(n^{-1/3}\): \[\frac{\hbar}{\sqrt{mk_BT_Q}}=n^{-1/3}\quad\Longrightarrow\quad T_Q=\frac{\hbar^2n^{2/3}}{k_Bm}.\] Концентрация \(n=10^{14}\) см\(^{-3}=10^{20}\) м\(^{-3}\), \(n^{2/3}=2{,}15\cdot10^{13}\) м\(^{-2}\): \[T_Q=\frac{(1{,}05\cdot10^{-34})^2\cdot2{,}15\cdot10^{13}}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot3{,}81\cdot10^{-26}}\ \text{К}\approx4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{К}\sim10^{-6}\ \text{К}.\]

d) Каждый акт — поглощение (импульс \(\hbar\omega_0/c\) вдоль пучка) или излучение (импульс отдачи той же величины в случайном направлении). Изменение импульса по модулю одинаково: \[(\Delta p)^2=\frac{\hbar^2\omega_0^2}{c^2}.\] Численно \(\omega_0=2\pi\cdot5{,}08\cdot10^{14}=3{,}19\cdot10^{15}\) с\(^{-1}\), \(\hbar\omega_0/c=1{,}12\cdot10^{-27}\) кг\(\cdot\)м/с и \[(\Delta p)^2\approx1{,}2\cdot10^{-54}\ \text{кг}^2\text{м}^2/\text{с}^2 .\]

e) Пусть в установившемся режиме средний квадрат импульса атома равен \(P_0^2\) и не меняется. Температура связана с ним по теореме о равнораспределении: \(\tfrac32k_BT_d=P_0^2/(2m)\). Найдём изменение \(\langle P^2\rangle\) за время \(t\) двумя способами.

Нагрев. За время \(t\) атом участвует в \(N=6\gamma_pt\gg1\) актах поглощения (шесть лазеров), каждый акт состоит из поглощения и излучения — двух толчков, каждый со средним квадратом \(\langle\Delta p^2\rangle\). Направления толчков в разных актах не коррелированы, поэтому по замечанию средние квадраты складываются: \[\delta\langle P^2\rangle_{\text{нагр}}=2N\langle\Delta p^2\rangle=12\,\gamma_p\langle\Delta p^2\rangle\,t .\] Здесь \(\gamma_p\) — скорость возбуждения одним пучком при \(v\approx0\): \(\gamma_p=s_0\,\dfrac{\gamma/2}{1+4\delta^2/\gamma^2}\).

Охлаждение. Сила трения по каждой оси \(-\beta v\), поэтому \(\dfrac{d\vec P}{dt}=-\dfrac{\beta}{m}\vec P\) и \(\dfrac{d\langle P^2\rangle}{dt}=2\vec P\cdot\dfrac{d\vec P}{dt}=-\dfrac{2\beta}{m}P^2\): \[\delta\langle P^2\rangle_{\text{охл}}=-\frac{2\beta P_0^2}{m}\,t .\] В установившемся режиме два вклада компенсируют друг друга: \[12\,\gamma_p\langle\Delta p^2\rangle=\frac{2\beta P_0^2}{m}\quad\Longrightarrow\quad P_0^2=\frac{6\,m\,\gamma_p\langle\Delta p^2\rangle}{\beta}.\] Подставим \(\gamma_p\), \(\langle\Delta p^2\rangle=\hbar^2\omega_0^2/c^2\) и \(\beta\) (при \(\delta<0\) \(\beta=8\hbar\omega_0^2|\delta|s_0/[\gamma c^2(1+4\delta^2/\gamma^2)^2]\)): \[P_0^2=6m\,\frac{\hbar^2\omega_0^2}{c^2}\cdot\frac{s_0\gamma/2}{1+4\delta^2/\gamma^2}\cdot\frac{\gamma c^2(1+4\delta^2/\gamma^2)^2}{8\hbar\omega_0^2|\delta|s_0} =\frac38\,m\hbar\gamma^2\,\frac{1+4\delta^2/\gamma^2}{|\delta|} =\frac{3m\hbar\gamma}{4}\left(\frac{2|\delta|}{\gamma}+\frac{\gamma}{2|\delta|}\right).\] Температура \[k_BT_d=\frac{P_0^2}{3m}=\frac{\hbar\gamma}{4}\left(\frac{2|\delta|}{\gamma}+\frac{\gamma}{2|\delta|}\right),\qquad T_d=\frac{\hbar\gamma}{4k_B}\left(x+\frac1x\right),\quad x=\frac{2|\delta|}{\gamma}.\] Условие \(T_d\gg\langle\Delta p^2\rangle/(2k_Bm)\approx1{,}2\cdot10^{-6}\) К выполнено, так как \(T_d\gtrsim2\cdot10^{-4}\) К.

Рис. 5. Установившаяся температура \(T_d\) в единицах \(\hbar\gamma/(4k_B)\) как функция \(x=2|\delta|/\gamma\): минимум при \(x=1\).

f) Функция \(x+1/x\) минимальна при \(x=1\) и равна 2, то есть при \(\delta=-\gamma/2\): \[T_{\min}=\frac{\hbar\gamma}{2k_B}=\frac{1{,}05\cdot10^{-34}\cdot2\pi\cdot9{,}80\cdot10^{6}}{2\cdot1{,}38\cdot10^{-23}}\ \text{К}\approx2{,}3\cdot10^{-4}\ \text{К}.\] У организаторов \(2{,}4\cdot10^{-4}\) К — неточное округление: с данными условия \(\hbar\gamma/(2k_B)=2{,}34\cdot10^{-4}\) К.

Рис. 6. Шкала температур: \(T_Q\) (начало квантового вырождения), «температура отдачи» \(\langle\Delta p^2\rangle/(2k_Bm)\) и минимальная температура \(T_d^{\min}\).

Проверка: условие линейности силы \(\omega_0v/c\ll\gamma\) при \(T=T_{\min}\) выполнено: скорость \(v\sim\sqrt{3k_BT/m}\approx0{,}5\) м/с, \(\omega_0v/c\approx5\cdot10^{6}\) с\(^{-1}\ll\gamma=6\cdot10^{7}\) с\(^{-1}\). Кроме того, \(T_d>T_Q\) примерно в 500 раз, так что квантовых эффектов вырождения при таком охлаждении нет, а предел определяется только отдачей. При \(\delta\to0\) и при \(|\delta|\to\infty\) \(T_d\to\infty\): в первом случае трения нет, во втором — трение слабое, а нагрев сохраняется.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.