Билинза Бийе

Каждая половина билинзы даёт своё действительное изображение источника; интерферируют лучи, пришедшие от этих двух изображений.

(1) Если удалить у линзы её часть, то оставшаяся часть по-прежнему будет формировать изображение, однако его яркость изменится. Поэтому можно рассматривать билинзу как две тонкие линзы, главные оптические оси которых параллельны и сдвинуты на расстояние \(h\) относительно оси системы. На рисунке показано построение хода лучей от источника \(A\) через каждую из половинок билинзы до двух изображений — верхнего (\(A_{\text{ниж}}\)), полученного в результате преломления света в нижней части билинзы, и нижнего (\(A_{\text{верх}}\)), полученного в результате преломления света в верхней части билинзы. Для этого использованы правила построения изображений в тонкой линзе: луч (фиктивный), идущий через оптический центр линзы (реально отсутствующий), не преломляется, а луч, идущий вдоль оси симметрии системы параллельно главной оптической оси линзы, после преломления проходит через её фокус.

Из подобия треугольников на рисунке следует, что расстояние \(d\) от каждого изображения до оси системы можно найти из пропорции: \(\dfrac{d}{h} = \dfrac{a+b}{a}\), откуда \(d = h\cdot\dfrac{a+b}{a}\).

В соответствии с формулой тонкой линзы \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{f}\), где \(b\) — расстояние от билинзы до плоскости двух изображений, откуда \(b = \dfrac{af}{a-f} = \dfrac{20\cdot 15}{20-15} = 60\) см \(> 0\), то есть изображения действительные и находятся справа от линзы. Расстояние \(d\) от каждого изображения до оси системы, таким образом, равно \[d = h\cdot\frac{a+b}{a} = h\cdot\frac{a}{a-f} = 1\cdot\frac{20}{20-15} = 4 \text{ мм}.\]

(2) Билинза позволяет «раздвоить» точечный источник \(A\), получив два точечных когерентных источника \(A_{\text{ниж}}\) и \(A_{\text{верх}}\) (см. рисунок).

Интерференцию можно наблюдать только в области перекрытия пучков света, полученных в результате его преломления в верхней и нижней частях билинзы — эта область на рисунке заштрихована. В силу обратимости световых пучков, проходящих через верхнюю и нижнюю части билинзы, можно рассматривать интерференционную картину в фокальной плоскости билинзы как результат наложения двух пучков света, выходящих из точечных источников \(A_{\text{ниж}}\) и \(A_{\text{верх}}\) обратно, в направлении билинзы.

Найдём разность хода \(\Delta\) лучей от этих источников в фокальной плоскости билинзы вблизи оси симметрии системы в зависимости от расстояния \(x\) точки в этой плоскости до точки \(F\) на этой оси.

В центре интерференционной картины разность хода, очевидно, равна нулю, и наблюдается интерференционный максимум. При отклонении от центра картины на расстояние \(x\) один луч укорачивается, а другой удлиняется на величину \[\frac{\Delta}{2} \approx x\sin\frac{\varphi}{2} \approx x\,\frac{\varphi}{2},\] как следует из построения. Таким образом, \(\Delta \approx x\varphi\).

При этом \(\dfrac{\varphi}{2} \approx \dfrac{d}{b-f}\), где, согласно пункту (1) решения, \(b = \dfrac{af}{a-f}\), \(b - f = \dfrac{f^2}{a-f}\), а \(d = h\dfrac{a}{a-f}\), так что \(\varphi \approx \dfrac{2ha}{f^2}\).

Максимумы в интерференционной картине наблюдаются там, где разность хода интерферирующих лучей \(\Delta = m\lambda\), \(m\) — целое. Период \(\Delta x\) интерференционных полос вблизи центра экрана определяется минимальным расстоянием по оси \(x\) вдоль экрана, при котором разность хода \(\Delta\) интерферирующих лучей меняется на величину \(\lambda\): \(\Delta \approx \Delta x\cdot\varphi = \lambda\), откуда \[\Delta x \approx \frac{\lambda}{\varphi} = \frac{\lambda f^2}{2ha} = \frac{7{,}11\cdot 10^{-7}\cdot 0{,}15^2}{0{,}002\cdot 0{,}2} \approx 4{,}00\cdot 10^{-5}\text{ м} = 40{,}0 \text{ мкм}.\] Существует и другой способ решения: если заметить, что разность хода лучей от двух изображений источника, приходящих в точку \(x\) на экране, \[\Delta(x) = \sqrt{(b-f)^2 + (d+x)^2} - \sqrt{(b-f)^2 + (d-x)^2},\] и что условие малости \(\varphi\) эквивалентно условию \(|d \pm x| \ll b - f\), то \[\Delta(x) \approx (b-f)\left[1 + \frac{(d+x)^2}{2(b-f)^2} - 1 - \frac{(d-x)^2}{2(b-f)^2}\right] = \frac{2d}{b-f}x = \frac{2ah}{f^2}x,\] и условие наблюдения максимумов \(\Delta(x_m) = m\pi\) даёт \(x_m = m\dfrac{f^2\lambda}{2ah}\). Отсюда легко находится ширина полосы.

(3) Наиболее широкая интерференционная картина будет получаться, очевидно, в фокальной плоскости билинзы, где эта картина будет иметь ширину \(2h = 2\) мм. В центре интерференционной картины разность хода равна нулю, и наблюдается интерференционный максимум, а следующие максимумы удалены от него на расстояние \(\Delta x = \dfrac{\lambda f^2}{2ha} \approx 4{,}00\cdot 10^{-5}\) м \(= 40{,}0\) мкм. На всей ширине \(2h\) интерференционной картины в фокальной плоскости билинзы уложится, таким образом, \(\dfrac{2h}{\Delta x} = \dfrac{2000}{40} = 50\) периодов этой картины — по 25 слева и справа от её центра. Всего будет наблюдаться, считая центральный максимум, \[N = \frac{2h}{\Delta x} + 1 = \frac{4h^2a}{\lambda f^2} + 1 = 51\] интерференционная полоса.