Грузик на резинке в невесомости

В невесомости сила упругости резинки сообщает грузику центростремительное ускорение. Какое условие на \(\omega\) при этом необходимо?

Пусть \(l\) — длина резинки в нерастянутом состоянии, а \(x\) — удлинение резинки. По второму закону Ньютона: \[m\omega^2(l + x) = kx,\] откуда относительное удлинение резинки: \[\frac{x}{l} = \frac{m\omega^2}{k - m\omega^2}.\] Энергия упругой деформации: \(E_1 = \dfrac{kx^2}{2}\), кинетическая энергия груза \(E_2 = \dfrac{m(\omega(l+x))^2}{2}\). Их отношение: \[\frac{E_1}{E_2} = \frac{k}{m\omega^2}\left(\frac{x}{l+x}\right)^2 = \frac{k}{m\omega^2}\left(\frac{1}{\frac{l}{x}+1}\right)^2 = \frac{k}{m\omega^2}\left(\frac{1}{\frac{k-m\omega^2}{m\omega^2}+1}\right)^2 = \frac{m\omega^2}{k}.\] Следует отметить, что полученные ответы являются корректными только при выполнении требования \(\omega < \sqrt{k/m}\) — иначе пружина не остановит груз (особенно это важно указать для второго ответа, из структуры которого существование ограничения не следует с очевидностью).