Шар с полостью и точечный заряд

Представьте шар с полостью как сумму шара радиуса \(R\) с плотностью \(\rho\) и шара радиуса \(R/2\) с плотностью \(-\rho\) в том же месте.

Удобно рассматривать не шар с полостью, а два шара: один с радиусом \(R\) и удельным зарядом \(\rho\) и другой с радиусом \(R/2\) и удельным зарядом \(-\rho\) (на месте полости). Как известно, равномерно заряженный шар создаёт в окружающем пространстве электрическое поле, эквивалентное полю точечного заряда, помещённого в центр шара. Поэтому первый шар будет действовать на точечный заряд силой \[F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\rho\,\frac{4}{3}\pi R^3\,\frac{q}{(2R)^2} = \frac{\rho q R}{12\varepsilon_0}\] (за положительное выбрано направление от шара), а второй шар — с силой \[F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,(-\rho)\,\frac{4}{3}\pi\left(\frac{R}{2}\right)^3\, \frac{q}{\left(\frac{3}{2}R\right)^2} = -\frac{\rho q R}{54\varepsilon_0}.\] Полная сила, действующая на заряд, \(F = F_1 + F_2 = \dfrac{7}{108}\dfrac{\rho q R}{\varepsilon_0}\), является силой отталкивания, если знаки \(\rho\) и \(q\) совпадают, и силой притяжения в противном случае.