Интерференция с зеркалом
6/10Точечный источник \(S\) монохроматического света с длиной волны \(\lambda = 550\) нм расположен на расстоянии \(l = 1{,}0\) мм от выпуклого сферического зеркала с радиусом кривизны \(R = 20\) см. На расстоянии \(L = 5{,}0\) м от зеркала расположен плоский экран.
Опишите интерференционную картину на экране, найдите положения максимумов интенсивности света на экране.
Сколько интерференционных максимумов можно наблюдать в такой схеме? На каком минимальном расстоянии от центра экрана можно наблюдать интерференционную картину, если минимальная толщина наблюдаемой интерференционной полосы не превышает \(\Delta x = 1{,}0\) мм?
Указание: при решении воспользуйтесь приближённым равенством \(\sqrt{1 \pm x} \approx 1 \pm x/2\), справедливым при малых \(|x| \ll 1\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаИнтерферируют волны от источника и его изображения в зеркале; оба источника находятся на расстоянии около \(2l\) друг от друга.
РешениеИнтерферировать будут волны, идущие непосредственно от источника и отражённые от зеркала. Расчёт можно провести как сложение волн от двух источников: \(S\) и его изображения \(S'\) в зеркале, расстояние между которыми приблизительно равно \(2l\). Изображение находится на расстоянии \(f = \dfrac{RL}{2l + R} \approx l\) (так как \(R \gg l\)). Интерференционные полосы представляют собой концентрические кольца.
Разность хода волн от источников до точки экрана на расстоянии \(r\) от центра: \[L_{1,2} = \sqrt{r^2 + (L \pm l)^2} \approx \sqrt{r^2 + L^2}\left(1 \pm \frac{Ll}{r^2 + L^2}\right).\] Условие максимума с учётом потери полуволны при отражении от оптически более плотной среды: \[\frac{2Ll}{\sqrt{r^2 + L^2}} + \frac{\lambda}{2} = k\lambda .\] Отсюда радиусы светлых колец порядка \(k\): \[r_k = L\sqrt{\left(\frac{2l}{(k - 1/2)\lambda}\right)^2 - 1} .\] С ростом порядка радиус кольца уменьшается; центральное пятно соответствует максимальному порядку, где разность хода примерно равна \(2l\). Число полос ограничено условием неотрицательности подкоренного выражения: \(k_{\max} \approx \dfrac{2l}{\lambda} \approx 3600\).
Так как \(l \gg \lambda\), в середине картины \[r_k \approx \frac{2lL}{k\lambda}, \qquad \Delta r_k \approx \frac{2lL}{k^2\lambda} ,\] то есть ширина полосы убывает с ростом номера. Требуя \(\Delta r_k \ge \Delta x\), находим максимальный наблюдаемый порядок
\[k = \sqrt{\frac{2lL}{\Delta x\,\lambda}} .\] Интерференционную картину можно наблюдать на расстояниях, превышающих примерно \(r\) от центра экрана, соответствующее этому порядку.